淺析高中數學課程教學內容的延伸

林菊花

高中數學教學中除了完成對教材本身的教學任務，一般都要對教材的內容作適當的拓廣與加深。教師在課內要增補一些相應的知識點，增加一些例題，介紹一些解題方法，同時對學生增大練習量，除了教材上的練習、習題之外，要補充大量的習題，選用一定教輔練習。但是，怎樣對新課標理念下高中數學教學內容進行拓廣與加深；什么知識點可以適當拓廣；什么樣的知識點不應拓廣；在什么時機進行拓廣與加深，都是值得研究的問題，以下對這些問題提出筆者個人的一點看法，供大家參考。

一、對重點的傳統知識作適當拓廣

新課標對傳統的高中數學知識作了較大的調整，內容變化也較大，有的從整個編排體系上都作了改變。但是，傳統的高中數學知識中的重點內容仍然是高中學生學習的主要內容，在教學中對這些知識內容應拓廣加深。

例如，增加了函數的最值及其幾何意義，函數的最值常常與函數的值域有聯系，而求函數的值域的基本方法有觀察法、配方法、分離常數法、單調性法、圖像法等，這些基本方法應該讓學生了解。 二次函數，它一直是高（初）中的重點基礎知識，在高中數學中二次函數可以與其它許多數學知識相聯系，因此拓廣和加深二次函數是必要的。例如在高中數學中如閉區間上二次函數的值域；二次函數含參數討論最值；利用二次函數判斷方程根的分布等，這些內容可作適當拓廣。 要補充“十字相乘法”、“一元二次方程的根與系數的關系”等知識。函數的圖像，除了學習指數函數和對數函數、五個簡單冪函數的圖象外，應該對三種圖像變換：平移變換、伸縮變換、對稱變換作適當拓廣。《標準》強調指數函數、對數函數、冪函數是三類不同的函數增長模型。在教學中，要求收集函數模型的應用實例，了解函數模型的廣泛應用；要求將函數的思想方法貫穿在整個高中數學的學習中，學生對函數概念的認識和掌握，需要多次反復，不斷加深理解。

又如，數列一直是高中數學的重點知識。按照教材要求，首先講數列的一般知識，然后學習等差，等比數列的有關知識，而數列的遞推關系，是反映數列的重要特征，也是經常用到的，在講完了等差，等比數列之后，仍然可以考慮把數列的遞推關系的問題適當加深，使學生能解一些簡單的遞推題目。課本要求掌握等差數列、等比數列求和，而對于非等差數列、非等比數列求和問題，常轉化為等差等比數列用公式求和也可用以下方法求解：分組轉化法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法。

圓錐曲線是解析幾何的重點內容，是高中階段傳統的數學內容，強調知識的發生、發展過程和實際應用，突出了幾何的本質。新教材要求學生能夠經歷橢圓曲線的形成過程，目的是讓學生對圓錐曲線的定義和幾何背景有一個比較深入地了解。新教材設計了一個平面截圓錐得到橢圓的過程，“有條件的學校應充分發揮現代教育技術的作用，利用計算機演示平面截圓錐所得的圓錐曲線。”在這里要拓寬學生視野，樹立數形結合的觀點，要善于把幾何條件轉化為等價的代數條件，進而利用方程求解，在解析幾何中，對運算能力也較過去要求更高，這就需要加強理解能力的訓練，使學生解決一要會算，二要算對這兩大難點。

二、對新增加的知識內容加強基礎訓練

新課標中增加了一部分新的數學知識，特別是選修系列中新內容較多，有些新內容與高等數學有關，對這些內容在教學中不宜當作高等數學知識來講，應該關注學生感受背景，認識基本思想。

例如，“數列”部分內容有增有減，增加的內容有：等差數列與一次函數的關系；等比數列與指數函數的關系。突出了數列與函數的內在聯系，強調數列是一種特殊的函數，讓學生體會等差數列、等比數列與一次函數、二次函數的關系。這部分內容指出要保證基本技能的訓練，但訓練要控制難度和復雜程度。

又如“導數及其應用”部分內容有增有減，增加的內容有：函數的單調性與導數的關系；利用導數研究函數的單調性；函數在某點取得極值的充分條件和必要條件。應認識導數的本質是什么，這里的導數不應作為微積分初步來講，把一些較復雜的復合函數求導也引入到教學中。

再如，古典概率問題，與排列組合有聯系，又有區別，學生應理解清楚概率的意義，建立隨機思想，而處理實際問題時又要會合理應用概率計算公式及原理。

三、加強數學應用問題的教學

新課標對高中數學知識的應用、數學建模提出了更高的要求，新課標的教材在這方面也大大加強了，許多知識是從實際問題引出，最后又要回到解決實際問題中去，但是作為教材受篇幅限制，不可能包括所有內容，而實際問題又是不斷發展，不斷產生的，因而對應用問題仍有許多地方可以進一步豐富素材。

例如，《標準》強調指數函數、對數函數、冪函數是三類不同的函數增長模型。在教學中，要求收集函數模型的應用實例，了解函數模型的廣泛應用；要求將函數的思想方法貫穿在整個高中數學的學習中，學生對函數概念的認識和掌握，需要多次反復，不斷加深理解。

又如，“分期付款”、“購房按揭”、“貸款買車”等目前生活中大量存在的實際問題，是與數列有密切聯系的，講完數列之后，可以讓學生去分析研究目前各種分期付款的形式，在討論問題中深化對數列的認識。

再如，教學中，要防止將導數僅僅作為一些規則和步驟來學習，而忽視它的思想和價值，指出任何事物的變化率都可以用導數來描述，注重導數的應用，例如：通過使利潤最大、材料最省、效率最高等優化問題，體會導數在解決實際問題中的作用：強調數學文化，體會微積分的建立在人類文化發展中的意義和價值。

四、拓廣數學知識的背景

數學教學中應該講有背景的數學，講清數學問題產生的背景，問題的來龍去脈，通過背景知識的介紹，使學生體會這些知識中蘊涵的數學思想方法，感悟其中的數學文化。目前高中數學教學中存在較嚴重的“試題化”傾向，對很多知識不講來龍去脈，不講實際應用，只要求學生記住結論，套用公式訓練解題技巧，把數學課作為純解題教學來講，這與新課標的精神是不符合的。

總之，高中數學教學中除了完成對教材本身的教學任務，一般都要對教材的內容作適當的拓廣與加深。教師在課內要增補一些相應的知識點，增加一些例題，介紹一些解題方法，同時對學生增大練習量，選用一定教輔練習。 但是，怎樣對新課標理念下高中數學教學內容進行拓廣與加深，這一問題值得我們一線老師深思。