關于全概率公式和_Bayes公式的應用和推廣

李文學 袁宜斌

摘要： 本文主要對全概率公式給出了一種新的理解，并推廣了全概率公式和Bayes公式，討論了全概率公式和Bayes公式的應用.

關鍵詞： 完備事件組全概率公式Bayes公式

一、全概率公式

全概率公式是概率論中的一個重要公式，是計算復雜概率的一個有效途徑.全概率公式是教學上與認識上的一個難點.本文主要討論全概率公式及其應用.這里先給出完備事件組的定義.

定義1：設樣本空間Ω中的事件組A■，A■，…，A■滿足

（1）A■，A■，…，A■=Ω；

（2）A■，A■，…，A■互不相容，即A■≠A■（？坌i≠j）；

（3）P（A■）>0，i=1，2，…，n，

則稱事件組A■，A■，…，A■是樣本空間Ω的一個完備事件組，也稱事件組A■，A■，…，A■構成樣本空間Ω的一個劃分.

引理1（全概率公式）：設A■，A■，…，A■是樣本空間Ω的一個劃分，則對任一事件B，有

P（B）=■P（A■）P（B|A■）.

對于初學者來說，全概率公式并不好理解，也容易產生誤解.許多初學者常常認為事件B是樣本空間Ω的一個子集，這是一個誤解，容易導致解題時用不上全概率公式.這個誤解主要是對該定理證明過程的錯誤理解造成的.在全概率公式的推廣定理中，我們利用了隨機向量的分布律的性質證明定理1.這個證明方法稍作修改即可證明全概率公式（引理1），這里我們省略.越過這個誤區，全概率公式應用起來就順暢多了.

包括數學專業在內的大部分教材對全概率公式的證明基本上如下：

P（B）=P（BΩ）=P（B（■）A■）=P（■（A■B））=■P（A■B）=■P（A■）P（B|A■）.

這種證明方法是錯誤的.其主要錯誤是把事件B所在的樣本空間也認為是Ω.這種理解導致例1無法用全概率公式.從例1中可以看出事件B所在的樣本空間不是Ω.

在許多實際問題中，由于事件B的復雜性，P（B）較難直接求得.若A■，A■，…，A■是事件B發生的n個原因，除此之外沒有其他原因，而每一個原因A■（i=1，2，…，n）對事件B的發生都有一定的貢獻，其貢獻為P（A■B）=P（A■）P（B|A■）.所以所有原因A■，A■，…，A■對事件B的發生的貢獻的和為

P（B）=■P（A■）P（B|A■）.

下面給出一個例題，從解答過程中不難發現所述問題的存在.

例1：有3個外形相同的箱子分別裝有一定數量的白球和黑球，甲箱中有3個白球和2個黑球，乙箱有2個白球和5個黑球，丙箱有3個白球和3個黑球.現任選一個箱子并從這個箱子中任意取一球，求此球是白球的概率.

解：設任取的這個球來自甲箱為事件A■、來自乙箱為事件A■、來自丙箱為事件A■，則A■∪A■∪A■=Ω，且P（A■）=P（A■）=P（A■）=1/3.

設任取的這個球是白球為事件B.由已知得：P（B|A■）=3/5，P（B|A■）=2/7，P（B|A■）=1/2.由全概率公式得：

P（B）=■P（A■）P（B|A■）=■.

二、推廣的全概率公式和Bayes公式

全概率公式的一個局限在于事件組A■，A■，…，A■只包含有限個事件.這里我們將其推廣到可列個事件的全概率公式.

定理1：設A■，A■，…，A■，…兩兩互不相容且■A■=Ω，P（A■）>0，i=1，2，…，則對任一事件B，有

P（B）=■P（A■）P（B|A■）；

若P（A■）>0，則

P（A■|B）=■.

證明：作隨機變量X（ω）=i，ω∈A■，i=1，2，…，另作隨機變量Y（ω）=0，ω？埸B1，ω∈B，則P（B）=P（Y=1）=■P（Y=1，X=i）=■P（X=i）P（Y=1|X=i）=■P（A■）P（B|A■）；

若P（A■）>0，由條件概率的定義得

P（A■|B）=■=■.

例2：設一昆蟲產i個卵的概率為λ■e■/i！（i=0，1，2，…），而每個卵能孵化為成年蟲的概率為p（0

解：設事件A■表示這個昆蟲產卵i個，i=0，1，2，…，則P（A■）=λ■e■/i！.

設事件B表示這昆蟲的下一代恰有k只，則B|A■～B（i，p），i≥k.由定理1得

P（B）=■P（A■）P（B|A■）=0+■P（A■）P（B|A■）=■λ■e■/i！·C■■p■（1-p）■=■e■.

參考文獻：

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