一題多解求河寬

李廣永

數(shù)學(xué)是一門美妙的學(xué)科,數(shù)學(xué)知識(shí)廣泛應(yīng)用于人們生活的方方面面,它在現(xiàn)實(shí)中的作用也是人人皆知的.在人們的日常生活中,許多問(wèn)題都涉及初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí),并且可以采用多種方法來(lái)解決.下面,就以測(cè)量河寬為例進(jìn)行說(shuō)明:

問(wèn)題:如圖1,一條河流,如何求河兩岸A、B兩點(diǎn)間的寬度?

圖1

顯然,如果河面較寬則無(wú)法直接測(cè)量,初中所學(xué)的一些解決圖形問(wèn)題的方法可以一用.

方法一:利用全等三角形.如圖2,在B點(diǎn)所在的河岸選兩點(diǎn)O、C,使C、O、B三點(diǎn)在同一直線上,且OC=OB,并在點(diǎn)C處作CM//AB,然后在CM邊上找出D點(diǎn),使D、O、A三點(diǎn)在同一直線上,這樣利用“角角邊”的判定定理得到兩個(gè)全等三角形,只要量出CD的距離,就可得到河的寬度.

方法二:利用相似三角形.如圖3,在AB所在的直線上適當(dāng)取一點(diǎn)D(DB距離太大或太小難測(cè)量),另找C、E兩點(diǎn),使A、C、E三點(diǎn)在同一直線上,并且BC//DE.這樣就得到兩個(gè)相似三角形ABC和△ADE,從而得到AB/AD=AC/DE,AB/(AB+BD)=BC/DE,再分別量出線段BC、BD、DE的長(zhǎng),就可根據(jù)上式求出河寬.

方法三:利用三角函數(shù)求解.如圖4,以假想存在的線段AB為一邊,點(diǎn)B為直角頂點(diǎn),作直角三角形ABC.這樣,只需量出線段BC的長(zhǎng)和∠ACB的度數(shù),用計(jì)算器查出∠ACB的正切值,由tanC=AB/BC即可求出河寬AB.

圖4 圖5

方法四:利用函數(shù)圖像求解.如圖5分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作直線OA、OB,再以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)建立坐標(biāo)系,使y軸平行于直線AB,直線AB交x軸于D點(diǎn)(可得到A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)).然后,分別在直線OA、OB上各取一點(diǎn)M,N,并找出兩點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)y=kx求出兩直線的解析式,再將A點(diǎn)橫坐標(biāo)分別代入兩解析式后,就得到A、B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo),兩縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值就是寬AB.

數(shù)學(xué)解題方法靈活多樣,以上解法僅供參考.