旋轉法在幾何解題中的妙用

李德橋

旋轉變換是幾何圖形三大變換之一,旋轉法是通過旋轉變換,使旋轉后的圖形與原來圖形建立起某些聯系,即通過圖形變換,把條件不明的量之間的關系轉化為明顯的量的關系,由此溝通已知與未知,以利于探索出解題途徑的思想方法.在中考中,可以利用這種變換,打破常規解題的思維局限,大膽構想,大手筆運用圖形,使問題得以轉化.在幾何問題中,巧妙地運用旋轉法解題,有時可以起到四兩撥千斤的作用.以下幾例就是巧用旋轉法來求解的題型.

一、運用旋轉變換化歸求面積

求不規則圖形面積往往需要轉化思想,根據圖形的結構,利用旋轉變換把分散的、不規則的陰影部分的面積轉化為集中的、規則圖形的面積,從而使問題得以解決.

例1:如圖1,菱形ABCD的對角線的長分別為2和5,P是對角線AC上任一點(點P不與點A、C重合),且PE∥BC交AB于點E,PF∥CD交AD于點F,則陰影部分的面積是.

圖1圖2

分析:由PE∥BC,PF∥CD可知四邊形AEPF是平行四邊形,則△POF和△AOE關于點O成中心對稱,

∴△POF繞點O旋轉180°之后與△AOE重合.

這樣陰影部分的面積就轉化為△ABC的面積了(如圖2),

S■=S■=■S■=■×■×AC·BD=■×■×2×5=■.

例2:如圖3,在Rt△ABC中,E為斜邊AB上一點,AE=2,EB=1,四邊形DEFC為正方形,則陰影部分的面積為.

圖3 圖4

分析:∵四邊形CDEF是正方形,∴點D可以看成是點F繞點E按逆時針方向旋轉90°所得,若點B也繞著點E按逆時針方向旋轉90°得對應點B′(如圖4),則Rt△EDB′≌Rt△EFB,故所求陰影部分的面積即為Rt△AEB′的面積.

∴S■=S■=■AE·B′E=■AE·BE=■×2×1=1.

本題抓住EF與ED共點等長的特征,把三角形EBF旋轉到三角形EB′D的位置,從而把分散的陰影部分的面積轉化為一個直角三角形的面積,非常巧妙地簡化了計算.

二、利用旋轉變換求角度

例3:如圖5,P是等邊三角形ABC內一點,PA=3,PB=4,PC=5,求∠APB的度數.

圖5

分析:考慮到以3,4,5為邊的三角形是直角三角形,故設法構造以3,4,5為三邊的三角形.由于3,4,5比較分散,因此把它們集中成為某個三角形的邊是問題解決的關鍵.

∵△ABC是等邊三角形,利用旋轉變換是最好的手段之一,∴可將△ABP繞點A按順時針方向旋轉60°,得到△ACQ,連接PQ.

∵△ABP≌△ACQ,

∴AQ=AP=3,CQ=BP=4,∠CAQ=∠BAP,∠AQC=∠APB,

∴∠PAQ=∠BAC=60°,∴△APQ是等邊三角形,∴∠AQP=60°,PQ=AP=3.

在△PQC中,PQ■+QC■=3■+4■=25=5■=PC■,

∴∠PQC=90°,

∴∠APB=∠AQC=∠AQP+∠PQC=60°+90°=150°.

例4:如圖6,正方形ABCD的邊長為1,點M、N分別在BC、CD上,使得△CMN的周長是2,求∠MAN的大小.

圖6

分析:∵四邊形ABCD是正方形,

∴將Rt△AND繞點A按順時針方向旋轉90°得到△ABL,

則Rt△ABL≌Rt△ADN,

∴DN=BL,AN=AL,∠1=∠2,

∴∠NAL=∠DAB=90°.

又MN=2-CN-CM=(1-CN)+(1-CM)=DN+BM=BL+BM=ML,且AM=AM,

∴△MAN≌△MAL.

∴∠NAM=∠MAL=90°÷2=45°.

三、運用旋轉變換求線段的長度

例5:如圖7,在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠C=90°,AE⊥BC于點E,四邊形ABCD的面積為16,求CE的長.

圖7

分析:由于圖中四邊形是任意四邊形,利用面積無法直接求出CE的長.但是,題中有條件AB=AD,且∠BAD=90°,所以如果把△ABE繞點A按逆時針方向旋轉90°,則可以得到四邊形AECE′,

根據四邊形內角和定理:∠ADC+∠B=360°-90°-90°=180°,

∴∠ADC+∠ADE′=∠ADC+∠B=180°,∴C、D、E′三點共線.

由∠C=∠CEA=∠E′=90°,AE′=AE,易證四邊形AECE′是正方形.∴S■=S■=16,∴CE=4.

注:本題是將一個不規則的四邊形通過旋轉轉化為正方形,由于面積沒有改變,從而使問題得以解決.

例6:如圖8,四邊形ABCD中,∠BAD=60°,∠BCD=30°,AB=AD,BC=12,CD=9,求AC的長.

圖8

分析:∵AB=AD,∠BAD=60°,

∴可將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉60°,

得到△ADE,連接CE.

則∠4=∠5,∠CAE=∠BAD=60°,AE=AC,DE=BC=12,

∴△ACE是等邊三角形,

∴AC=CE.

∵∠CDE=∠1+∠2+∠3+∠4=∠1+∠2+∠3+∠5=∠CAE+∠BCD=60°+30°=90°,

∴△CDE是直角三角形.

又DE=12,CD=9,

∴AC=CE=■=■=15.

注:本題是抓住AB和AD共點等長的特征,通過旋轉三角形ABC構造出正三角形ACE解決問題.

四、比較線段的大小關系

例7:如圖9,AD為△ABC中BC邊上的中線,試比較AB+AC與2AD的大小關系.

圖9

分析:構造2AD是解決本題的關鍵.

∵AD為BC邊上的中線,

∴DC=BD,

∴可將△ADC繞點D旋轉180°得到△EDB,

則DE=AD,BE=AC,

∴AE=2AD.

∵在△ABE中,AB+BE>AE,

∴AB+AC>2AD.

例8:如圖10,點D是等腰直角△ABC斜邊上任意一點,比較AD■+BD■與2CD■的大小關系.

圖10

分析:由線段的平方我們雖然想到了勾股定理,而運用勾股定理卻需要直角三角形作為條件,因此構造直角三角形是解決本題的關鍵.

∵AC=BC,∠ACB=90°,

∴可將△ACD繞點C按逆時針方向旋轉90°,

得到△CBE.

則BE=AD,CE=CD,∠DCE=∠ACB=90°,

∠CBE=∠A=∠CBA=45°,∴∠DBE=90°,

連接DE,則由勾股定理,得BE■+BD■=DE■,又CE=CD,∠DCE=90°,∴DE■=CD■+CE■=2CD■,

∴BE■+BD■=2CD■,

∴AD■+BD■=2CD■.

旋轉變換在幾何中的妙用實例不勝枚舉,尤其是當圖形中出現“共點等長”的線段時,一般可采用旋轉變換把已知條件中較為分散的條件集中到一個圖形中去,從而使問題得以解決.旋轉法解題是解幾何題常用重要解題方法之一,等邊三角形、正方形、等腰直角三角形的特殊性質,為運用旋轉法解題提供了廣闊的天地.