契貝曉夫不等式及其應(yīng)用

甄洪梅

摘要： 契貝曉夫不等式在概率論中有著廣泛的應(yīng)用.本文利用契貝曉夫不等式估算在某個(gè)對(duì)稱區(qū)間內(nèi)事件發(fā)生的概率，另外還論述了契貝曉夫不等式在定理證明中的應(yīng)用，重點(diǎn)是在大數(shù)定律證明中的應(yīng)用.

關(guān)鍵詞： 隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望方差大數(shù)定律契貝曉夫不等式

通過(guò)學(xué)習(xí)概率論，我們知道一些事件發(fā)生的概率不能通過(guò)常規(guī)方法解決或者用常規(guī)方法解決起來(lái)很繁瑣，更有一些定理的證明需要另辟捷徑.下面我們就來(lái)研究一下利用契貝曉夫不等式來(lái)簡(jiǎn)潔快速地給出某些特殊事件發(fā)生的概率.

1.相關(guān)定義

我們要研究契貝曉夫不等式，首先要了解概率論中的幾個(gè)相關(guān)定義.下面先來(lái)看一下這幾個(gè)定義.

定義1:定義在樣本空間Ω上，取值于實(shí)數(shù)域，且只取有限個(gè)或可列個(gè)值的變量ξ=ξ（ω），稱作是一維（實(shí)值）離散型隨機(jī)變量，簡(jiǎn)稱離散型隨機(jī)變量.

定義2:若ξ（ω）是隨機(jī)變量，F(xiàn)（x）是它的分布函數(shù)，如果存在函數(shù)P（x），使對(duì)任意的x，有F（x）=?蘩p（y）dy，則稱ξ（ω）為連續(xù)型隨機(jī)變量.

定義3:若離散型隨機(jī)變量ξ可能取值為α，（i=1，2…），其分布列為p，（i=1，2…），則當(dāng)|α|p＜∞時(shí)，稱ξ存在數(shù)學(xué)期望，并且數(shù)學(xué)期望Eξ=αp，如果|α|p=∞則稱ξ的數(shù)學(xué)期望不存在.

說(shuō)明:在概率論中頻率可以逼近概率，即p=，再根據(jù)上述定義，可知數(shù)學(xué)期望的本質(zhì)就是數(shù)學(xué)中的平均值.

定義4:設(shè)ξ是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p（x），當(dāng)?蘩|x|p（x）dx＜∞時(shí)，稱ξ的數(shù)學(xué)期望存在且Eξ=?蘩xp（x）dx.

說(shuō)明:連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望在本質(zhì)上和離散型隨機(jī)變量是一樣的.

定義5:設(shè)ξ是一個(gè)隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望Eξ存在，如果E|ξ-Eξ|存在，則稱E|ξ-Eξ|為隨機(jī)變量ξ的方差.

說(shuō)明:方差在本質(zhì)上反映了隨機(jī)變量偏離數(shù)學(xué)期望的平均值.

為了研究隨機(jī)變量偏離數(shù)學(xué)期望小于任意正常數(shù)ε的概率，我們給出了下面的定義.

定義6:大數(shù)定律：若ξ，ξ，…ξ，…是隨機(jī)變量序列，如果存在常數(shù)列α，α，…使對(duì)任意的實(shí)數(shù)ε＞0，有p（|-α|＜ε）=1成立，則稱隨機(jī)變量序列{ξ}服從大數(shù)定律.

如果隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ存在，方差為Dξ，對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)ε，我們有這樣的感覺(jué)，方差Dξ與p（|ξ-Eξ|＞ε）存在著某種關(guān)系，即p（|ξ-Eξ|＞ε）隨著Dξ的增大而增大，我們把這個(gè)感覺(jué)嚴(yán)格化就得到下面的契貝曉夫不等式.

2.契貝曉夫不等式

對(duì)任意的隨機(jī)變量ξ，若Eξ=a，又Dξ存在，則對(duì)任意的正數(shù)ε，有P（|ξ-a|≥ε）≤.

證明:（1）設(shè)ξ是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量，密度函數(shù)為p（x），則

P（|ξ-a|≥ε）

=?蘩p（x）dx≤?蘩p（x）dx≤?蘩（x-a）p（x）dx

=

（2）設(shè)ξ是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，ξ的分布列為p，則有

P（|ξ-a|≥ε）

=p（x）≤p（x）≤（ξ-a）p（x）

=

證畢

契貝曉夫不等式的另一種形式：對(duì)任意的隨機(jī)變量ξ，若Eξ=a，又Dξ存在，則對(duì)任意的正數(shù)ε，有P（|ξ-a|＜ε）=1-P（|ξ-a|≥ε）＞1-.

證明：1=P（Ω）=P（|ξ-a|≥ε）+P（|ξ-a|＜ε）P（|ξ-a|≥ε∪|ξ-a|＜ε）

所以P（|ξ-a|＜ε）=1-P（|ξ-a|≥ε）＞1-

證畢

說(shuō)明：契貝曉夫不等式的轉(zhuǎn)化形式在應(yīng)用中比較靈活，有時(shí)比契貝曉夫不等式用起來(lái)更加方便.

3.契貝曉夫不等式的應(yīng)用

（1）契貝曉夫不等式在概率估計(jì)中的應(yīng)用.

契貝曉夫不等式在概率估計(jì)中的應(yīng)用主要包括兩類：一是用于用常規(guī)方法不可以求出其準(zhǔn)確概率的情況；二是用于雖然可以求出其準(zhǔn)確概率，但我們只需要它的大致范圍即可的情況.另外還有一點(diǎn)需要注意的是，在我們利用契貝曉夫不等式估計(jì)概率時(shí)，它所在的區(qū)間必須是對(duì)稱區(qū)間.

例1:設(shè)隨機(jī)變量x的方差為2，估計(jì)P（|x-Ex|≥2）的概率.

解：利用常規(guī)方法我們無(wú)法求出P（|x-Ex|≥2）的概率.所以我們只有應(yīng)用契貝曉夫不等式，即

P（|x-Ex|≥2）≤=.

在契貝曉夫不等式給出的估計(jì)式中我們只需要知道方差Dξ及數(shù)學(xué)期望Eξ兩個(gè)數(shù)字特征就夠了，因而使用起來(lái)是比較方便的，但是也正因?yàn)樗鼪](méi)有完整地用到隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律——分布函數(shù)或密度函數(shù)，所以一般說(shuō)來(lái)它給出的估計(jì)是比較粗糙的且存在較大的誤差.下面我們給出一個(gè)例題來(lái)說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題.

例2:若ξ是服從N［a，σ］分布的隨機(jī)變量，求P（|ξ-a|≥3σ）.

解：利用契貝曉夫不等式得

P（|ξ-a|≥3σ）≤=≈0.11

然而它的準(zhǔn)確解為

P（|ξ-a|≥3σ）

=1-p（|ξ-a|≤3σ）

=1-?蘩dx

≈1-0.997≈0.003.

比較這兩者的結(jié)果，我們不難知道契貝曉夫不等式給出的估計(jì)的確粗糙一些.

（2）契貝曉夫不等式在定理證明中的應(yīng)用，特別是在大數(shù)定律證明中的應(yīng)用.

例3:利用契貝曉夫不等式可以證明：隨機(jī)變量ξ的方差Dξ=0的充分必要條件是ξ取某個(gè)常數(shù)值的概率為1，即p（ξ=a）=1.

證明：充分性，顯然.

必要性，設(shè)Dξ=0，則Eξ存在，于是有

0≤p（|ξ-Eξ|＞0）=p{（|ξ-Eξ|≥）}≤p（|ξ-Eξ|≥）

≤=0

由此可知

p（|ξ-Eξ|＞0）=0

從而

p（|ξ-Eξ|=0）=1

故結(jié)論成立.

在貝努里試驗(yàn)中，當(dāng)n很大時(shí)，頻率會(huì)逐漸穩(wěn)定到概率.這里的逐漸穩(wěn)定不同于我們數(shù)學(xué)分析中的逐漸穩(wěn)定——極限，所以在概率論中=p是不成立的.這就要求我們采用其他形式來(lái)求出這個(gè)概率.我們知道當(dāng)n很大時(shí)，（|-p|≥ε）發(fā)生的可能性趨向于零（在這里我們還是取ε是大于零的任意實(shí)數(shù)）.我們把上面的感覺(jué)給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，就是下面的貝努里大數(shù)定律.

例4:（貝努里大數(shù)定律）設(shè)u是n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p（0＜p＜1），則對(duì)任意的ε＞0，有

p（|-p|＜ε）=1.

證明：令

ξ=1，在第i次試驗(yàn)中A出現(xiàn)（1≤i≤n）ξ=0，在第i次試驗(yàn)中A不出現(xiàn)（1≤i≤n）

則ξ，ξ，…ξ是n個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且

Eξ=p，Dξ=p（1-p）=pq（1≤i≤n）

而

u=ξ

于是

-p==

由契貝曉夫不等式有

p（|-p|≥ε）=p（|ξ-E（ξ）|≥nε）

≤

又由獨(dú)立性可知

D（ξ）=Dξ=npq

從而有

p（|-p|≥ε）≤=→0

即

p（|-p|＜ε）=1.

貝努里大數(shù)定律所要求的條件比較嚴(yán)格，需要明確地知道n，p，q.下面我們給出條件較為寬松的契貝曉夫不等式，它不需要知道方差的準(zhǔn)確值，只需知道方差有界即可.

例5:（契貝曉夫大數(shù)定律）設(shè)ξ，ξ…是一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量，又設(shè)它們的方差有界，即存在常數(shù)c＞0，使Dξ≤c，i=1，2…，則對(duì)任意的ε＞0，有

p（|-|＜ε）=1.

證明:根據(jù)契貝曉夫不等式，有

p（|-|≥ε）≤

=

因?yàn)閧ξ}兩兩不相關(guān)，且由它們的方差有界即可得到

D（ξ）=Dξ≤nc

從而有

p（|-|≥ε）≤→0（n→∞）

從而有

p（|-|＜ε）=1

通過(guò)定義我們雖然可以判斷一個(gè)隨機(jī)變量序列是否服從大數(shù)定律，但是應(yīng)用起來(lái)很不方便.我們不禁要問(wèn)：有沒(méi)有一個(gè)定理可以直接判斷一個(gè)隨機(jī)變量序列是否服從大數(shù)定律呢？回答是肯定的，那就是馬爾可夫大數(shù)定律.

例6：（馬爾可夫大數(shù)定律）設(shè)ξ，ξ，…ξ是隨機(jī)變量序列，若有→0，n→∞，則有p（|-|＜ε）=1.

證明：利用契貝曉夫不等式

1≥p（|-|＜ε=p（|-E（）|＜ε）

≥1-

=1-

由假設(shè)知

→0

右端趨于1，于是

p（|-|＜ε）=1.

本文成功地利用契貝曉夫不等式簡(jiǎn)潔快速地給出某些特殊事件發(fā)生的概率.本文僅解決了一維隨機(jī)變量時(shí)的情況，我們還將繼續(xù)考慮多維隨機(jī)變量的情況.

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