多元函數最值問題

張林

2012年高考的硝煙已經漸漸散去，江蘇卷讓人印象深刻，留下許多值得回味的東西.筆者對14題這道壓軸填空題比較感興趣，這個題目屬于多元函數最值問題，此類題型常常作為壓軸填空題，一直備受關注.下面舉例談談多元函數最值問題的解法.

一、不等式法：利用均值不等式求最值

例1：已知x，y，p均為正實數，且+x+y＞p恒成立，求p的取值范圍.

解：由已知得：p＜恒成立

即求p≤

令t=得

∵x＞0，y＞0

∴t=+

≥+=3

當且僅當x=y時取等號

∴p的取值范圍為p≤3

注：本題運用了均值不等式求出最值，還可用柯西不等式、排序不等式等求解，由于高考只要求均值不等式，在此不再列舉.

二、消元法：轉化為一元函數問題

1.代入消元法.

例2：已知x，y，z∈R且x+y+z=1，x+y+z=3，則xyz的最大值為多少？

解析：本題涉及x，y，z三個字母，屬于多元函數問題，已知兩個等式，考慮消去兩個變量轉化為一元函數問題.

解：由x+y+z=1得x+y=1-z

∴x+y+2xy=1-2z+z

又∵x+y+z=3

∴xy=z-z-1（*）

由x+y≥2xy得3-z≥2（z-z-1）

∴-1≤z≤

由（*）式xyz=z（z-z-1）=z-z-z-1≤z≤

利用導數法易求得（xyz）=

2.整體消元法：將幾個變量的整體看成一個變量起到消元作用.

例3（2012年江蘇省14）：已知正數a，b，c滿足：5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，求的取值范圍.

【解析】條件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化為：3?+≥5+≤4≥e.

設=x，y=則題目轉化為：

已知x，y滿足3x+y≥5x+y≤4y≥ex＞0，y＞0，求的取值范圍.作出（x，y）所在平面區域（如圖）.求出y=e切線的斜率e，設過切點P（x，y）的切線為y=ex+m（m≥0），則==e+，要使它最小，須m=0.∴的最小值在P（x，y）處，為e.此時，點P（x，y）在y=e上A，B之間. 當（x，y）對應點C時，y=4-xy=5-3x?圯5y=20-5x4y=20-12x?圯y=7x?圯=7，

∴的最大值在C處，為7.∴的取值范圍為［e，7］，即的取值范圍是［e，7］.

3.不等式放縮消元

例3：已知三次函數f（x）=x+x+cx+d（a＜b）在R上單調遞增，則的最小值為?搖 ?搖.

解：f′（x）=ax+bx+c由條件f（x）在R上單調遞增，得f′（x）≥0恒成立，∴a＞0Δ=b-4ac≤0?圯a＞0?搖≤，∴=≥，

令t=-1（0＜a＜b，∴＞1），

∴===t++≥2+=3，當且僅當=，即t=3時取“=”，∴的最小值是3.