淺論數學直覺思維的作用

李延飛

一、直覺思維及數學直覺思維的描述

直覺是以真實的事物為對象，通過各種感覺器官直接獲得的感覺或感知.例如，等腰三角形的兩個底角相等，兩個角相等的三角形是等腰三角形等概念、性質的界定并沒有一個嚴格的證明，只是一種直觀形象的感知.而直覺的研究對象則是抽象的數學結構及其關系.龐加萊說：“直覺不必建立在感覺明白之上.感覺不久便會變得無能為力.”由此可見直覺是一種深層次的心理活動，沒有具體的直觀形象和可操作的邏輯順序作為思考的背景是行不通的.

所謂數學直覺思維，就是大腦基于有限的數據資料和知識經驗，充分調動一切與問題有關的顯意識和潛意識，在敏銳想象和迅速判斷的有機結合下，從整體上單刀直入地領悟數學對象的本質，洞察數學結構和關系的一種思維方式.這種思維的實質是對數學對象及其結構、關系的想象和判斷.它類似于猜想，表現為靈感、頓悟，就如同古詩中所描述的“山重水復疑無路，柳暗花明又一村”，“眾里尋她千百度，驀然回首，那人卻在燈火闌珊處.”因此直覺思維是學生學習素養的一個重要的組成部分.

二、數學直覺思維的作用

“數學王子”高斯曾經反復強調，他的數學發現主要來自經驗，“證明只是補行的手續”.德國數學家伊恩?斯圖加特曾說：“直覺是真正的數學家賴以生存的東西.”美籍匈牙利數學家波利亞也曾說：“直觀洞察和邏輯證明是感知真理的兩種不同方式……直觀的洞察可能遠遠超前于形式邏輯的證明.”縱觀人類科技進步發展史，許多重大的發現都是基于直覺：歐幾里得幾何學的五個公式就是基于直覺，從而建立起歐幾里得幾何學這棟輝煌的大廈；哈密頓是在散步的路上迸發出了構造四元素的火花；阿基米德在洗澡時發現了辨別王冠真假的方法；凱庫勒發現苯分子環狀結構更是一個直覺思維的成功典范.因此直覺思維的作用不可忽視.

（一）有利于培養學生的審美意識，讓學生學會追求數學美.

數學美是客觀存在的.“哪里有數，哪里就有美”.數學學科特點決定了數學美的基本特征：直覺的合理性和高度的抽象性的統一.學生通過發現、認識、體驗和運用顯現的數學美的形式，直覺地感受到數學美震撼人心的力量，形成強烈的認知沖突，獲得身心滿足.在百思不得其解之后，一個巧妙的方法躍然而出，顯得那么奇特、新穎.內心深處由衷產生無比的喜悅和沖動，刻骨銘心，這就是數學的奇異美；當冗長的陳述，繁雜的關系用數學演繹而出時，學生無不被數學的簡潔美所折服；數與形的統一，對稱圖形、對稱等式、對稱變換的運用，顯得那么和諧生動，給人蕩氣回腸之感，使學生與數學的統一美、對稱美融為一體.

勾股定理c=a+b，這一簡單而整齊的形式，表達了一切直角三角形邊長之間的關系.

二次展開式的系數、正多面體、圓等都具有對稱性，甚至有人感嘆：圓是最美的圖形.

利用直覺對于數學公式和圖形的觀察及思考可以培養學生的審美意識，特別是在做數學習題時，數學直覺對于這種美表現得更確切.

例1：在等差數列{a}中，若a+a+a+a=20，求S的值.

分析：等差數列中存在對稱美：當i+j=m+n時，a+a=a+a，據此通過審美直覺思維可以發現a+a=a+a=10.所以

S=（a+a）+（a+a）+…+（a+a）=10×10=100.

這就是利用了直覺思維發現數學美的過程。學生從中獲得良好的數學美感，將會直接地形成數學審美直覺能力，并有助于更好地追求數學美.

（二）數學直覺思維有助于更好地認識數學的本質，從而更好地解決問題.

在數學教學過程中，我們常常遇到很多復雜的問題，往往無法一眼看出其解決方法，這時候就需要直覺思維的幫助.直覺能夠使我們的認識由現象上升為本質，從而更好地認識數學的本質.

數學直覺思維具有個體經驗性、突發性、偶然性、果斷性、創造性、迅速性、自由性、直觀性、自發性、不可靠性等特點.迪瓦多內說：“任何水平的數學教學的最終目的，無疑是使學生對他要處理的數學對象有一個可靠‘直覺.”在教育過程中，教師如果把證明過程過分的嚴格化、程序化，用僵硬的邏輯外殼掩蓋住直覺的光環，學生們只能把成功歸功于邏輯的功勞，而喪失了“可靠的直覺”，那將是我們教育的失敗.只有將直覺思維與數學教學有效地結合起來，才能使學生更好地認識數學的本質，從而更好地解決問題.

下面來看一道例題.

例2：求sin20°+cos50°+sin20°?cos50°的值.

剛看到這個題目時我們都無從下筆，題中既不是特殊值，又不能直接運用三角函數的誘導公式.這就要求我們能夠抓住數學的本質，聯系自己所學的東西，創造性地解決問題.

分析：通過直覺我們可以從題目的結構發現它與sinθ+cosθ=1這一公式接近，運用這一點聯系我們所學習的知識進行構造新的三角函數關系.

解：設a=sin20°+cos50°+sin20°?cos50°，

b=sin50°+cos20°+sin50°?cos20°，

從而有a+b=2+sin70°，a-b=--sin70°，

所以a=.

由此我們可以看出直覺思維的作用不可忽視，它對解決數學問題有很大的幫助.在培養數學直覺思維的過程中，無疑加深了對數學本質的認識，從而更好地學習數學.特別是對中學生來說，提高數學直覺思維能力有助于更好地解決數學問題.

（三）數學直覺思維能力的提高有利于增強學生的自信心.

現在有不少老師只注重教學生學習的內容而忽視了教學生學習的方法，以至于不少學生面對復雜問題時束手無策.特別是對于學生思維能力的培養，忽視了直覺思維的作用.有不少學生拿到一些題目時，一看是復雜的題型，往往心灰意冷，便再也沒有繼續做下去的興趣和信心.其實，這時候直覺思維可以起到很好的作用.

例3：求函數y=+的最小值.

分析與解：該函數很復雜，直接從代數角度無法下手，而配方得y=+.聯想到兩點的距離公式，它的幾何意義是：動點p（x，0）到兩定點時函數有最小值即A（1，2），B（-3，-4）的距離和.

當p點在線段AB上，

y=|PA|+|PB|≥|AB|==2.

即y=2.

如果沒有直覺思維的幫助，這道題目就會難倒一大片同學.甚至會使得許多同學喪失信心，碰到類似題目沒有任何激情再去研究.因此培養直覺思維對數學教學來說無疑是個重點.

在學習三角函數知識后，我們發現有許多題目可以通過這一知識輕松解決.當然這要有直覺的幫助，不然很多看起來困難的題目就很難找到簡單的解決方法.

例5：求函數y==（x∈R）的值域.

有不少同學拿到這個題目后就想直接進行移項換元，結果發現很難求出其值域.這時候不少同學就覺得走投無路，心里很著急.

分析：其實我們可以很輕松地發現此函數與萬能公式sinθ=結構完全相同，注意到自變量的取值范圍與正切函數值域也相同，這樣我們就可以很輕松地解決問題.

解：設x=tan，則y=sinθ.所以函數的值域為［-1，1］.

我們從這個例題中可以看出直覺思維對于學生解題的幫助.學生直覺思維能力提高了，駕馭數學題目的能力也就相應提高了.這樣就增強了學生學習數學的信心，培養了學習數學的興趣，從而使得數學教學更好地開展下去.

數學直覺思維還有利于提高學生的思維品質.直覺思維具有快速性，迅速肯定或否定某一思路或結論，給人以“發散”、“放射”的感覺，一計不成又生一計.因此，加強直覺思維能力的訓練，有利于克服思維的單向性及提高思維品質.