數學課堂中“錯誤”資源的有效利用

張峰

學生的學習過程是一個累積的過程，也是一個錯誤不斷顯生、修正和完善的過程。錯誤既是學習的必然產物，又是教學的巨大資源。因此，學生在課堂上的錯誤是正常的，教師對學生的錯誤進行防范與回避本身就是教學中的“錯誤”。教師要善于抓住學生的錯誤資源，引導他們從不同角度修正錯誤，給他們一些研究、爭論的時間和空間；更應該憑借教師的教學機智，因時制宜，積極應變，善于將學生的“錯誤”合理利用起來，挖掘“錯誤”中合理的成分，從而促進學生思維的發展。

一、巧用錯誤，激發學生的學習興趣

學生在學習中產生的錯誤，來自學生，貼近現實。“錯誤”作為一種教學資源，只要巧妙利用，就能較好地促進學生情感的發展，尤其對激發學生的學習興趣，喚起學生的求知欲具有特殊的作用。

【案例】在教學“畫角”時，我先讓學生通過自主探究，初步了解畫角的方法，接著讓學生嘗試進行獨立畫角。在巡視學生的練習時，發現有兩三個學生把一個110°的角畫成了70°，是直接指出其錯誤還是……我想，既然學生有了這樣的錯誤，何不把它當成“誘餌”拋給學生呢？于是，我請其中一位學生在實物投影儀上演示畫角的過程。

師：在剛才這位同學畫角的過程中，你發現了什么？

生：他畫錯了，因為他在量角器上數刻度時數反了。

師：他的錯誤對你有什么啟發幫助呢？

生1：它提醒我畫角時要看清刻度。

生2：它提醒我畫好角后，可以先大致估一下是銳角還是鈍角，這樣可以減少出錯。

生3：我發現畫錯的角加上正確的角正好是平角。

聽完學生們的發言，我特意走到剛才畫錯角的同學身邊，與他熱情地握手，并連聲說：“謝謝你，因為你的出錯引起了大家那么多有價值的思考，使大家對于角的認識又加深了?！蹦俏怀鲥e的同學開心極了，臉上充滿了笑容。這樣做不但讓學生對角有了進一步的認識，而且有效地保護了出錯學生的自尊心，使出錯學生覺得：“我的錯引起了同學們那么多有價值的思考，我也很了不起。”從而培養了學生的自信心和探究精神，讓他們能夠勇敢地站起來，也能夠體面地坐下去。面對學生在課堂中出現的錯誤，我們更應用寬容的心態對待學生，讓學生在寬容、信任、鼓勵中重拾探究、參與的熱情。

二、正視錯誤，培養學生的自信心

對待學生出現的錯誤，許多教師視為洪水猛獸，唯恐避之不及?；颉翱斓稊貋y麻”，以一個“錯”字堵上學生的嘴，接二連三提問學生，直至得出“正確答案”；或親自“上陣”，把答案“雙手奉上”?；颉岸隆被颉八汀保际侵脤W生的實際于不顧。不撥“亂”反“正”，不讓學生經歷實踐獲得體驗，阻擋了學生邁向“錯”的腳步，也就打擊了學好數學的自信心。

【案例】一塊長方形鐵皮，長32厘米，寬16厘米，如果把它剪成直徑4厘米的圓片，最多可以剪多少個？

教學時，我采用如下步驟：（1）先讓學生自己去做。他們多數會根據以往的經驗，用大面積去除以小面積，即32×16÷［3.14×（4÷2）2］≈40（個）。（2）讓學生自己畫草圖，比較、辯思。頓時，學生豁然開朗：原來正確的解法是（32÷4）×（16÷4）=32（個），根本不可能剪出40個。（3）引導發散思維。這時，有學生想到也可以用（32×16）÷（4×4）=32（個）求解，也就是把直徑4厘米的圓看成是邊長4厘米的正方形。

這樣做雖然會延長學生的學習時間，產生較多的錯例，但這些錯例對學生來說卻是寶貴的經驗。我們要寬容、理性地對待學生的錯誤，不要輕易否定，要肯定學生的積極參與，用鼓勵的語言去評判。只有這樣，學生才會毫無顧忌地發表自己的意見，樹立學好數學的信心。

三、自主糾錯，增強學生的發現意識

利用學生學習中出現的錯誤，給學生創設自主探究的問題情境，讓學生在糾正錯誤的過程中，自主地發現問題、解決問題，是培養發現意識的有效途徑。面對學生的計算錯誤，大多數教師感到頭疼，其中部分原因是學生不良習慣造成的：抄錯數字或計算符號；分數除法時，除數沒有改寫成倒數；小數乘除計算時，不注意小數點的位置，等等。所以當學生出現錯誤時，要培養學生自主糾錯的習慣，更要增強學生發現問題的意識。

【案例】有一次，在教學有余數的小數除法時，要求計算38.2÷2.7并進行驗算。大部分學生的計算結果是錯誤的，有的同學得出的商是1.4，有的同學得出的余數是4。針對這一較為典型的錯誤，我把它作為一個判斷題讓學生自主探究，先判斷答案是否正確，接著追問：“你是怎樣發現錯誤的？”學生在富有啟發性問題的誘導下，積極主動地進行探索，很快找到了三種判斷錯誤的方法：

生1：余數4與除數2.7比，余數比除數大，說明是錯誤的。

生2：驗算：1.4×2.7+0.4≠38.2，說明商是錯誤的。

生3:驗算14×2.7+4≠38.2，說明余數是錯誤的。

我再引導學生分析，找出正確的商和余數。由于計算時，被除數和除數同時擴大了10倍，商里的小數點不能忘記，余數是被除數擴大10倍計算后余下的，因此余數也擴大了10倍，正確的余數應把4縮小10倍，得0.4。

學生獲得數學知識本來就應該是在不斷探索中進行的，在這個過程中，學生的思維方法是各不相同的，因此，出現偏差和錯誤是很正常的，關鍵是在于教師如何利用錯誤這一資源。上面的例子中，我提出具有針對性和啟發性的問題，創設自主探究的問題情境，引導學生從不同角度審視問題，讓學生在糾正錯誤的過程中，自主地發現了問題，解決了問題，深化了對知識的理解和掌握，培養了發現問題的意識。

四、將錯就錯，提升學生的思維能力

在課堂教學中，學生不可能不出現錯誤，正因為有了這種那種錯誤，我們就要考慮如何利用好這些“錯誤”化弊為利。我們也可以經常針對學生的錯誤進行“將錯就錯”的訓練，采用“化錯為正”的方法，引導學生從正、反不同角度修改錯誤。這不僅能使不同層次的學生發現錯誤，提高學習的積極性，而且可以揚長補短，拓展學生的思維，提高學生思維的靈活性和創造性。

【案例】在學習了圓的周長和面積的計算以后，有這樣一道題目：

小圓的半徑是2厘米，大圓的半徑是3厘米，小圓的直徑和大圓的直徑的比是（?搖?搖），小圓的周長和大圓的周長的比是（?搖?搖），小圓的面積和大圓的面積的比是（?搖?搖）。

我在巡視檢查時，發現王同學很快在三個空中都填上2∶3，顯然答案是錯誤的。講評時，我特意請他起來說答案，當他說完答案后，傳來不少同學反對的聲音。

我說：“王同學，你能說一說你是怎么想的嗎？”

他低聲地說：“我先是算出小圓的直徑和大圓的直徑的比是2∶3，接著發現小圓的周長和大圓的周長的比也是2∶3，因此我想它們的面積比也應該是2∶3?！?/p>

我說：“你真善于觀察，會動腦筋！大家分組討論一下，圓的半徑、直徑、周長和面積的比，到底是不是有這樣的關系呢？”

這時，學生們有的議論紛紛，有的在紙上寫寫畫畫。過了一會兒，有的學生舉起了手。

一位學生說：“我算出圓的半徑、直徑、周長的比都是2∶3，而圓的面積的比是4∶9?！?/p>

另一位學生補充說：“我們幾個同學得出的答案與前面同學的一樣，而且經過我們幾個人的分析，我們還得出以下結論：小圓和大圓的半徑、直徑、周長的比都是相等的，而面積的比是半徑、直徑、周長的比平方后的比，2的平方是4，3的平方是9，所以圓的面積的比是4∶9?！薄?/p>

案例中王同學雖然錯了，但“2∶3”是他從前面的結果類推出來的，雖然是錯的，但也閃爍著他思維的火花（而且蘊涵著類比的數學思想）。在這種情況下，我做了一回“糊涂官”，沒有否定他的意見，而是將錯就錯，為學生提供一個“研究爭辯”的空間，從而讓學生在分析、反駁、明理、內化知識的過程中提升思維能力。

數學錯誤隨著數學學習的開始也產生著，對于錯誤，我們要站在數學價值的角度上重新審視，靈活地運用于數學教學中，發揮數學錯誤最大的作用，挖掘內在的“閃光點”，為學生創造新的學習機會，提高教學質量，為學生的成長與發展提供新的教育契機。