圓錐曲線中定點問題的處理

杜海清

摘要： 在高考復習中，教師應讓學生更加關注知識與方法的聯系，體會這些方法的價值；使學生在綜合性更強、能力要求更高的問題情境中準確、靈活地應用這些知識與方法.圓錐曲線作為解析幾何的核心內容，已成為高考考查的重點.本文結合圓錐曲線中的定點問題的處理，淺議如何提高高三數學復習的有效性.

關鍵詞： 圓錐曲線定點問題垂直相交弦非垂直相義弦

探究一：垂直相交弦的定點問題的處理

過曲線頂點的垂直相交弦問題：

例1.過橢圓+=1（a＞b＞0）的右頂點A（a，0）任意作兩條互相垂直的弦PA，QA，求證：直線PQ過定點.

證明：設直線PQ：y=kx+n-km，定點（m，n）

則+=1y=kx+n-km?圯（b+ak）x+2ak（n-km）x+a［（n-km）-b］=0

設P（x，y），Q（x，y），則x+x=-，xx=

又?=（x-a）（x-a）+（y-0）（y-0）=0

即k（a-ba）+2（n-km）ak+（n-km）（a+b）=0

即k（a-ba-2am+ma+mb）+2k（na-mna-mnb）+n（a+b）=0

因為定點與k的值無關，所以m（a+b）-2am+a-ab=0na-mn（a+b）=0n（a+b）=0

解方程得m=n=0.即直線PQ過定點,0.

變式1.過拋物線y=2px的頂點任意作兩條互相垂直的弦OP，OQ，求證：直線PQ過拋物線的對稱軸上的一定點.

變式2.過雙曲線-=1（a＞b＞0）的右頂點A任意作兩條互相垂直的弦PA，QA，求證：直線PQ過定點.

探究二：非垂直相交弦的定點問題的處理

例2.（2010年高考江蘇18改編）已知：橢圓+=1的左、右頂點為A，B，設過T（9，m）（m＞0）的直線TA，TB與橢圓交于M（x，y），N（x，y），其中y＞0，y＞0，求證：直線MN必過x軸上的一定點（其坐標與m無關）.

證明：直線TA方程為：=，即y=（x+3），

直線TB方程為：=，即y=（x-3）.

分別與橢圓+=1聯立方程組，同時考慮到x≠-3，x≠3，

解得：M（，），N（，-）.

當x≠x時，直線MN方程為：=

令y=0，解得：x=1.此時必過點D（1，0）；

當x=x時，直線MN方程為：x=1，與x軸交點為D（1，0）.

所以直線MN必過x軸上的一定點D(1,0).

高考數學的復習通常有三輪.在第一輪復習中，對數學概念、定理等基本知識進行梳理；在第二輪復習中，應使學生在鞏固三基的基礎上，從更高的角度認識數學知識的內在聯系.那么，如何更高效地展開第二輪復習呢？

1.準確制定復習專題［１］

（1）把學生的問題確定為專題

數學教學就是問題教學，高考復習就是解決學生知識的缺失點、失分點.教師要在復習中，積極統計各次練習、考試中學生錯誤較多的問題，及時歸納整理，有針對性地展開專題研究，查漏補缺.當然，并不是所有問題都適合做專題，教師必須根據考試說明精心挑選.

（2）把高考的熱點確定為專題

高考的熱點即是重點.教師應當認真、仔細閱讀大綱和考試說明，細心比較歷年來考綱的變化，準確把握高考的重點，根據分值的分布，確定重點知識、重點題型、重點思想.

2.精心設計復習專題

高考數學試題強調“注意通性通法，淡化特殊技巧”.因此，在專題復習中，教師務必抓住核心知識內容，通過變式和類比得到一類或幾類問題的通性、通法，培養思維的變通性，在尋找多解與變通中提高思維能力，使學生能在解題過程中，自覺地運用這些方法、思想.

參考文獻：

［1］萬國全.高三數學二輪復習要注意的幾個問題.中學數學教學，2010.5.