圓錐曲線中定點(diǎn)問(wèn)題的處理

杜海清

摘要： 在高考復(fù)習(xí)中，教師應(yīng)讓學(xué)生更加關(guān)注知識(shí)與方法的聯(lián)系，體會(huì)這些方法的價(jià)值；使學(xué)生在綜合性更強(qiáng)、能力要求更高的問(wèn)題情境中準(zhǔn)確、靈活地應(yīng)用這些知識(shí)與方法.圓錐曲線作為解析幾何的核心內(nèi)容，已成為高考考查的重點(diǎn).本文結(jié)合圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題的處理，淺議如何提高高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的有效性.

關(guān)鍵詞： 圓錐曲線定點(diǎn)問(wèn)題垂直相交弦非垂直相義弦

探究一：垂直相交弦的定點(diǎn)問(wèn)題的處理

過(guò)曲線頂點(diǎn)的垂直相交弦問(wèn)題：

例1.過(guò)橢圓+=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A（a，0）任意作兩條互相垂直的弦PA，QA，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn).

證明：設(shè)直線PQ：y=kx+n-km，定點(diǎn)（m，n）

則+=1y=kx+n-km?圯（b+ak）x+2ak（n-km）x+a［（n-km）-b］=0

設(shè)P（x，y），Q（x，y），則x+x=-，xx=

又?=（x-a）（x-a）+（y-0）（y-0）=0

即k（a-ba）+2（n-km）ak+（n-km）（a+b）=0

即k（a-ba-2am+ma+mb）+2k（na-mna-mnb）+n（a+b）=0

因?yàn)槎c(diǎn)與k的值無(wú)關(guān)，所以m（a+b）-2am+a-ab=0na-mn（a+b）=0n（a+b）=0

解方程得m=n=0.即直線PQ過(guò)定點(diǎn),0.

變式1.過(guò)拋物線y=2px的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦OP，OQ，求證：直線PQ過(guò)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上的一定點(diǎn).

變式2.過(guò)雙曲線-=1（a＞b＞0）的右頂點(diǎn)A任意作兩條互相垂直的弦PA，QA，求證：直線PQ過(guò)定點(diǎn).

探究二：非垂直相交弦的定點(diǎn)問(wèn)題的處理

例2.（2010年高考江蘇18改編）已知：橢圓+=1的左、右頂點(diǎn)為A，B，設(shè)過(guò)T（9，m）（m＞0）的直線TA，TB與橢圓交于M（x，y），N（x，y），其中y＞0，y＞0，求證：直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)（其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)）.

證明：直線TA方程為：=，即y=（x+3），

直線TB方程為：=，即y=（x-3）.

分別與橢圓+=1聯(lián)立方程組，同時(shí)考慮到x≠-3，x≠3，

解得：M（，），N（，-）.

當(dāng)x≠x時(shí)，直線MN方程為：=

令y=0，解得：x=1.此時(shí)必過(guò)點(diǎn)D（1，0）；

當(dāng)x=x時(shí)，直線MN方程為：x=1，與x軸交點(diǎn)為D（1，0）.

所以直線MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)D(1,0).

高考數(shù)學(xué)的復(fù)習(xí)通常有三輪.在第一輪復(fù)習(xí)中，對(duì)數(shù)學(xué)概念、定理等基本知識(shí)進(jìn)行梳理；在第二輪復(fù)習(xí)中，應(yīng)使學(xué)生在鞏固三基的基礎(chǔ)上，從更高的角度認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系.那么，如何更高效地展開(kāi)第二輪復(fù)習(xí)呢？

1.準(zhǔn)確制定復(fù)習(xí)專(zhuān)題［１］

（1）把學(xué)生的問(wèn)題確定為專(zhuān)題

數(shù)學(xué)教學(xué)就是問(wèn)題教學(xué)，高考復(fù)習(xí)就是解決學(xué)生知識(shí)的缺失點(diǎn)、失分點(diǎn).教師要在復(fù)習(xí)中，積極統(tǒng)計(jì)各次練習(xí)、考試中學(xué)生錯(cuò)誤較多的問(wèn)題，及時(shí)歸納整理，有針對(duì)性地展開(kāi)專(zhuān)題研究，查漏補(bǔ)缺.當(dāng)然，并不是所有問(wèn)題都適合做專(zhuān)題，教師必須根據(jù)考試說(shuō)明精心挑選.

（2）把高考的熱點(diǎn)確定為專(zhuān)題

高考的熱點(diǎn)即是重點(diǎn).教師應(yīng)當(dāng)認(rèn)真、仔細(xì)閱讀大綱和考試說(shuō)明，細(xì)心比較歷年來(lái)考綱的變化，準(zhǔn)確把握高考的重點(diǎn)，根據(jù)分值的分布，確定重點(diǎn)知識(shí)、重點(diǎn)題型、重點(diǎn)思想.

2.精心設(shè)計(jì)復(fù)習(xí)專(zhuān)題

高考數(shù)學(xué)試題強(qiáng)調(diào)“注意通性通法，淡化特殊技巧”.因此，在專(zhuān)題復(fù)習(xí)中，教師務(wù)必抓住核心知識(shí)內(nèi)容，通過(guò)變式和類(lèi)比得到一類(lèi)或幾類(lèi)問(wèn)題的通性、通法，培養(yǎng)思維的變通性，在尋找多解與變通中提高思維能力，使學(xué)生能在解題過(guò)程中，自覺(jué)地運(yùn)用這些方法、思想.

參考文獻(xiàn)：

［1］萬(wàn)國(guó)全.高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)要注意的幾個(gè)問(wèn)題.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，2010.5.