用整體和隔離法解決問題

姚家坤

在高一物理中，特別是牛頓定律的章節(jié)中涉及了許多需要用整體和隔離法解決的問題。我將這類題目加以歸納總結(jié)。

一、什么叫做整體和隔離法

若干個物體通過一定方式連接在一起，就構(gòu)成了連接體，其連接方式，一般通過細(xì)繩、桿等物體來實(shí)現(xiàn)。連接體常會處于某種相同的運(yùn)動狀態(tài)，如處于平衡狀態(tài)或以相同的加速度運(yùn)動。求解連接體的加速度或內(nèi)部物體間的相互作用力，是力學(xué)中能力考查的重要內(nèi)容，解決問題的有效方法是綜合運(yùn)用整體和隔離法。

1.隔離法

假想把某個物體（或某些物體；也可以是物體的一部分）從連接體中隔離出來，作為研究對象，只分析這個研究對象受到的外力，由此就可以建立相關(guān)的動力學(xué)方程。

在應(yīng)用隔離法時，要注意：隔離對象的選擇是否恰當(dāng)十分重要，這關(guān)系到解題的繁簡。應(yīng)以問題便于求解為原則，既可以單個隔離，又可以整體隔離，并不是隔離得越多越好。

隔離法的優(yōu)勢在于把連接體內(nèi)各部分相互作用的內(nèi)力，轉(zhuǎn)化為物體所受的外力，以便應(yīng)用牛頓第二定律求解。

2.整體法

整體分析法就是把若干個運(yùn)動情況相同的物體看做一個整體，只要分析外部物體對這一整體的作用力，而不出現(xiàn)系統(tǒng)內(nèi)部之間的作用力（這是內(nèi)力），由此就可以很方便地求出整體的加速度，或相關(guān)的外力，使解題十分簡捷。

在運(yùn)用整體法時，要注意：取作系統(tǒng)的各物體要具有相同的運(yùn)動狀態(tài)，即有相同的加速度。當(dāng)系統(tǒng)內(nèi)物體的加速度各不相同時，合外力等于各物體質(zhì)量與加速度乘積的矢量和。

二、應(yīng)用實(shí)例

1.連接體問題

例1：如圖1所示，A、B兩物體用輕繩連接，置于光滑的水平面上，它們的質(zhì)量分別為M和m，且M>m，現(xiàn)用水平力F分別拉A、B，A，B間的拉力分別為T和T，則T和T之間有什么關(guān)系呢？

解析：

本題是通過細(xì)繩連接的連接體問題，我們可以用整體和隔離綜合應(yīng)用解題。我們首先將兩個物體看做一個整體，求出它們的共同運(yùn)動的加速度a=，然后我們將采用隔離法研究物體運(yùn)動。

我們將A隔離（如圖甲所示），得到T=；將B隔離（如圖乙所示），可得T=。

我們通過比較發(fā)現(xiàn)T＞T。

例2：如圖2所示，質(zhì)量為m和m的兩個物體用輕桿相連，置于固定的斜面上，則（）

A.若斜面光滑，當(dāng)m＞m時，一定是m拉m 。

B.當(dāng)m和m都靜止在斜面上時，m、m無相互作用。

C.當(dāng)他們沿斜面加速下滑時，一定是m拉m。

D.當(dāng)它們沿斜面加速下滑時，可能是m推m。

解析：

本題是兩個物體通過一根桿連接在一起的，和繩又是不同的概念。但是都是連接體問題。我仍然用以上方法，將兩個物體隔離起來分別研究。

設(shè)輕桿對物體沒有作用力。對于m：它的加速度a=gsinθ-ugcosθ。對于m：它的加速度a=gsinθ-ugcosθ。其中u和u分別為m和m與斜面之間的動摩擦因數(shù)。

（1）若斜面光滑，a=a=gsinθ，無相互牽制現(xiàn)象；

（2）若斜面粗糙，u＞u，則a＜a，故m拉m，m推m；

（3）若u＞u，結(jié)論相反。

2.物體之間直接接觸時

上面我們講的是兩個物體之間通過連接形成的連接體，下面看看物體間沒有連接體是什么情況。

例3：如圖3所示，在光滑的水平面上有一個長方形木塊，它的長度是l，當(dāng)它的一端受水平推力F時，木塊內(nèi)部各橫截面S上的壓力是怎樣的隨截面到受力端的距離X而改變。

解析：

對于本題我們可以利用整體法和隔離法結(jié)合的思想求解，設(shè)木塊的質(zhì)量為m，對整個矩形長木塊應(yīng)用牛頓第二定律：

F=ma...(1)

對于(l-x)部分的木塊受力分析，它只受x部分對它的推力作用F，有

F=ma...(2)

即 F=F

例4：如圖4所示，在光滑的水平面上，放著五個質(zhì)量都是1kg的立方體木塊，外力F=20N，求第三塊木塊受到幾個力？各為多大？

解析：

我們用隔離法分析第三塊木塊（如下圖）。

受到地球的重力G=10N

受到地面的支持力F=10N

木塊2對木塊3的推力F

木塊4對木塊3的推力F

先用整體法：F=5ma...(1)

隔離4：F=ma...(2)

根據(jù)牛頓第三定律有：F=F...(3)

聯(lián)立(1)、(2)、(3)式可得

F=8N

F=12N

3.物體在木契上的情況

例5：（1994年高考全國卷）如圖5所示，質(zhì)量M=10kg的木楔ABC靜止于粗糙的水平面上，動摩擦因數(shù)μ=0.02。在楔的傾角為θ=30°的斜面上，有一質(zhì)量m=1.0kg的木塊從靜止開始沿斜面下滑，當(dāng)滑行路程s=1.4m時，其速度v=1.4m/s，在這過程中楔沒有動，求地面對楔的摩擦力的大小和方向（重力加速度取10m/s）。

解析：

若采用隔離法，分析楔M時，受的力特別多，求解繁瑣。該題中，雖然m與M的加速度不同，但仍可用整體法，只是牛頓第二定律應(yīng)寫成

∑F=ma+ma

由v=v+2as

得木塊m沿斜面向下運(yùn)動的加速度為a===0.7m/s

將物塊m和木楔M看做一個整體，它們在豎直方向受到重力和地面的支持力；在水平方向如果受力只能是摩擦力，暫設(shè)其存在，大小位F，楔的加速度為零，只有物塊加速度a，如圖6所示，沿水平方向和豎直方向分解物塊加速度a。對整體在水平方向上運(yùn)用牛頓第二定律，得

F=max=macosθ

解得F= 0.4N

因?yàn)镕應(yīng)與a同向

所以木楔受到的摩擦力水平向左。

點(diǎn)評：若一個系統(tǒng)內(nèi)各個物體的加速度不相同，又不需要求系統(tǒng)內(nèi)物體間的相互作用力時，利用牛頓第二定律應(yīng)用整體法解題方便很多。本題也可以用隔離法求解，同學(xué)們可以試一試。