思維導(dǎo)圖:數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效工具

楊其松

摘要： 思維導(dǎo)圖是數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效工具。在解題教學(xué)中利用思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)解題方法的挖掘過(guò)程、展現(xiàn)一題多解中思維的發(fā)散過(guò)程、體現(xiàn)一題多變的變化過(guò)程，能夠使學(xué)生清晰而深刻地體會(huì)到如何思考解決問(wèn)題。

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)解題教學(xué)思維導(dǎo)圖切入點(diǎn)突破口歸納點(diǎn)

教學(xué)解題教學(xué)在本質(zhì)上說(shuō)不是知識(shí)技巧的傳授，而是智能的培養(yǎng)?？芍悄懿⒉槐憩F(xiàn)在解題的結(jié)果上，也不是表現(xiàn)在技巧方法的結(jié)果上，而是表現(xiàn)在解題的思考過(guò)程中，思想方法總結(jié)提升的過(guò)程中。教師的教學(xué)難題是如何讓學(xué)生體驗(yàn)解題方法的形成過(guò)程，從某一題“頓發(fā)的靈感”上升歸納為解一類(lèi)題的思想方法。通過(guò)學(xué)習(xí)思維導(dǎo)圖，我發(fā)現(xiàn)思維導(dǎo)圖不僅可以讓學(xué)生清晰地體會(huì)到解題突破口的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，而且可以一目了然地理解解題思想方法的挖掘、使用過(guò)程，從而使學(xué)生真正從會(huì)解一道題轉(zhuǎn)變到會(huì)解一類(lèi)題，甚至是如何解數(shù)學(xué)題。

思維導(dǎo)圖是由“記憶之父”托尼?巴贊教授創(chuàng)造的一種記筆記的方法。它可以把枯燥的信息變成彩色的、容易記憶的、高度組織的圖；它與我們大腦處理事物的自然方式相吻合，能以直觀形象的方式對(duì)知識(shí)信息進(jìn)行描繪；而且它還是一種有效的思維工具，主張?jiān)谧鲌D時(shí)使用線條、顏色、符號(hào)、詞匯和圖像，以充分開(kāi)發(fā)人的“全腦”（左腦和右腦），培養(yǎng)人們的創(chuàng)新思維。思維導(dǎo)圖畫(huà)法的核心內(nèi)容就是在紙的中間寫(xiě)下或畫(huà)下想要解決的中心問(wèn)題然后逐級(jí)發(fā)散。（本文中所舉的例題在課堂教學(xué)中都是以彩色粉筆結(jié)合不同的圖像呈現(xiàn)在學(xué)生面前）

一、利用思維導(dǎo)圖呈現(xiàn)解題方法的挖掘過(guò)程，讓學(xué)生體會(huì)解題的“切入點(diǎn)”。

愛(ài)因斯坦曾說(shuō)：“結(jié)論幾乎總是以完成的形式出現(xiàn)在讀者面前，讀者體會(huì)不到探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，感覺(jué)不到思想形成的生動(dòng)過(guò)程，也很難達(dá)到清楚地理解全部情況?！边@也是數(shù)學(xué)老師所追求的：把解題方法的形成過(guò)程呈現(xiàn)給學(xué)生，讓他們通過(guò)自主體會(huì)，達(dá)到真正理解。思維導(dǎo)圖作為一種可視化的思考工具，以圖形化的方式把題中所給的信息結(jié)構(gòu)化，使其便于更好地分析、理解、聯(lián)想、綜合并產(chǎn)生新的想法，使教師從解題過(guò)程的解釋和闡述中解放出來(lái)，著重于引導(dǎo)學(xué)生在探究解題思路的過(guò)程中主動(dòng)建構(gòu)解題思想方法、從而讓學(xué)生體驗(yàn)到解題的全部過(guò)程，達(dá)到真正理解。我們從思維導(dǎo)圖的核心畫(huà)法出發(fā)，把解題分成以下幾個(gè)步驟：

準(zhǔn)確審題是解題的先決條件，思維導(dǎo)圖從題中找出關(guān)鍵詞的過(guò)程使學(xué)生更加重視分析、理解各種信息，并加強(qiáng)信息的全面性與關(guān)聯(lián)性，使信息更加系統(tǒng)化更具條理性，極大地提高了審題的準(zhǔn)確性。接下來(lái)對(duì)關(guān)鍵詞進(jìn)行不同角度、不同層次的研判并展開(kāi)逐級(jí)聯(lián)想，聯(lián)想所能想到的知識(shí)點(diǎn)和解題思想方法、技巧等，然后經(jīng)過(guò)提煉、刪除、綜合等過(guò)程得到問(wèn)題的解決方案。其中聯(lián)想相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)和解題方法應(yīng)盡可能全面：比如求y=sinx+cosx的最值，這里其中有一個(gè)關(guān)鍵詞是最值，那么聯(lián)想相關(guān)的求最值的所有辦法，而不僅僅是合一變形這一個(gè)，比如還有導(dǎo)數(shù)、基本不等式、柯西不等式、二次函數(shù)法，等等，其中的有些方法可以解決這個(gè)問(wèn)題，有些不能，所以學(xué)生有時(shí)還需要做提煉、刪除工作。這樣做雖然比較麻煩，但是可以使學(xué)生對(duì)解決一類(lèi)問(wèn)題的不同方法進(jìn)行比較，并加深方法的記憶和掌握不同方法使用的范圍和所需條件，解決現(xiàn)實(shí)中學(xué)生不知何時(shí)采用何種方法的困惑。

例1：（2008年浙江卷理科17題）若a≥0，b≥0，且當(dāng)x≥0y≥0x+y≤1時(shí)，恒有ax+by≤1，則以a，b為坐標(biāo)點(diǎn)P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于.

二、利用思維導(dǎo)圖展現(xiàn)思維的發(fā)散過(guò)程，讓學(xué)生體驗(yàn)解題的“突破口”。

思維導(dǎo)圖是一種將放射性思維具體化的方法，它的放射性結(jié)構(gòu)恰好反映了大腦自然思考問(wèn)題的解決過(guò)程，它在快速地聯(lián)想擴(kuò)展與題目相關(guān)的、有內(nèi)在聯(lián)系的清晰和準(zhǔn)確的知識(shí)或解題思想方法的過(guò)程中，往往派生出許多不同的解題方向，而且思維導(dǎo)圖完整的邏輯架構(gòu)和全腦思考的方式可使解題方法更加全面、自然。

例2：已知實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，求證：x+y+z≥.

說(shuō)明：

①作差法：

3（x+y+z）-1=3x+3y+3z-（x+y+z）

=（x-y）+（y-z）+（z-x）≥0

②反證法：類(lèi)似于作差法

③分析法：本題的所有證法均可寫(xiě)成分析法

④柯西不等式：

（x+y+z）（1+1+1）≥（x+y+z）=1

∴x+y+z≥

⑤利用常見(jiàn)不等式x+y+z≥xy+yz+zx

∵1=（x+y+z）

=x+y+z+2xy+2xz+2yz

≤x+y+z+2x+2y+2z

∴x+y+z≥

⑥基本不等式：

x+1≥2xy+1≥2yz+1≥2zx+y+z=1?圯x+y+z≥3（等號(hào)無(wú)法成立）

↓修改為

x+≥xy+≥yz+≥zx+y+z=1?圯x+y+z≥（x=y=z=時(shí)等號(hào)成立）

⑦二次函數(shù)最值：

令f（x）=x+y+z-

∵x+y+z=1

∴f（x）=x+y+（1-x-y）-

=2（x+）+（y-）

∴［f（x）］=（y-）≥0

∴f（x）≥0

∴x+y+z≥

三、利用思維導(dǎo)圖體現(xiàn)題組的變化過(guò)程，讓學(xué)生感悟思想方法的“歸納點(diǎn)”。

“題組的變式訓(xùn)練”將一道靜態(tài)封閉的題目從不同角度、層次、側(cè)面出發(fā)變化為一個(gè)動(dòng)態(tài)開(kāi)放的題目，通過(guò)層層啟發(fā)引導(dǎo)、歸納總結(jié)，從而達(dá)到舉一反三、觸類(lèi)旁通、靈活應(yīng)用。鑒于題組變式訓(xùn)練的卓越效果，許多教師在課堂上采用，而教師也往往通過(guò)“例題、變式1、變式2……”的方式展開(kāi)“變式教學(xué)”。我認(rèn)為若能結(jié)合導(dǎo)圖呈現(xiàn)題組的變化過(guò)程，則更能讓學(xué)生清晰地了解題組中各題目之間的變化過(guò)程、解題思想方法類(lèi)同或聯(lián)系之處，從而在多次強(qiáng)化后自發(fā)自覺(jué)地以題組為一個(gè)整體構(gòu)建知識(shí)并形成解一類(lèi)題的思想方法。我在“利用導(dǎo)數(shù)求最值”這一節(jié)復(fù)習(xí)課中，做過(guò)以下嘗試。

說(shuō)明：還可以幾個(gè)因素同時(shí)變：

1.f（x）=ax-3x+1對(duì)于x∈［-1，1］總有f（x）≥0成立，則a=.

2.設(shè)函數(shù)f（x）=，如果對(duì)任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍.

思維導(dǎo)圖這種以圖表的方式把思維過(guò)程表示出來(lái)，不僅有利于學(xué)生學(xué)會(huì)如何分析思考解決問(wèn)題，而且有利于學(xué)生進(jìn)行題后反思，從導(dǎo)圖中可以清晰地了解該題所用的知識(shí)點(diǎn)、解題思想方法及解題技巧，當(dāng)然也利于學(xué)生的理解記憶與課堂摘錄。所以思維導(dǎo)圖是老師進(jìn)行解題教學(xué)的有效工具，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的好助手。

參考文獻(xiàn)：

［1］東尼?博贊著.張鼎昆，徐克茹譯.思維導(dǎo)圖大腦使用說(shuō)明書(shū)［M］.外語(yǔ)教學(xué)與研究出版社.

［2］吳佑華.一題多解話化歸.中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2005，（10）.