思維導圖:數(shù)學解題教學的有效工具

楊其松

摘要： 思維導圖是數(shù)學解題教學的有效工具。在解題教學中利用思維導圖呈現(xiàn)解題方法的挖掘過程、展現(xiàn)一題多解中思維的發(fā)散過程、體現(xiàn)一題多變的變化過程，能夠使學生清晰而深刻地體會到如何思考解決問題。

關鍵詞： 數(shù)學解題教學思維導圖切入點突破口歸納點

教學解題教學在本質(zhì)上說不是知識技巧的傳授，而是智能的培養(yǎng)。可智能并不表現(xiàn)在解題的結果上，也不是表現(xiàn)在技巧方法的結果上，而是表現(xiàn)在解題的思考過程中，思想方法總結提升的過程中。教師的教學難題是如何讓學生體驗解題方法的形成過程，從某一題“頓發(fā)的靈感”上升歸納為解一類題的思想方法。通過學習思維導圖，我發(fā)現(xiàn)思維導圖不僅可以讓學生清晰地體會到解題突破口的發(fā)現(xiàn)過程，而且可以一目了然地理解解題思想方法的挖掘、使用過程，從而使學生真正從會解一道題轉變到會解一類題，甚至是如何解數(shù)學題。

思維導圖是由“記憶之父”托尼?巴贊教授創(chuàng)造的一種記筆記的方法。它可以把枯燥的信息變成彩色的、容易記憶的、高度組織的圖；它與我們大腦處理事物的自然方式相吻合，能以直觀形象的方式對知識信息進行描繪；而且它還是一種有效的思維工具，主張在作圖時使用線條、顏色、符號、詞匯和圖像，以充分開發(fā)人的“全腦”（左腦和右腦），培養(yǎng)人們的創(chuàng)新思維。思維導圖畫法的核心內(nèi)容就是在紙的中間寫下或畫下想要解決的中心問題然后逐級發(fā)散。（本文中所舉的例題在課堂教學中都是以彩色粉筆結合不同的圖像呈現(xiàn)在學生面前）

一、利用思維導圖呈現(xiàn)解題方法的挖掘過程，讓學生體會解題的“切入點”。

愛因斯坦曾說：“結論幾乎總是以完成的形式出現(xiàn)在讀者面前，讀者體會不到探索和發(fā)現(xiàn)的喜悅，感覺不到思想形成的生動過程，也很難達到清楚地理解全部情況。”這也是數(shù)學老師所追求的：把解題方法的形成過程呈現(xiàn)給學生，讓他們通過自主體會，達到真正理解。思維導圖作為一種可視化的思考工具，以圖形化的方式把題中所給的信息結構化，使其便于更好地分析、理解、聯(lián)想、綜合并產(chǎn)生新的想法，使教師從解題過程的解釋和闡述中解放出來，著重于引導學生在探究解題思路的過程中主動建構解題思想方法、從而讓學生體驗到解題的全部過程，達到真正理解。我們從思維導圖的核心畫法出發(fā)，把解題分成以下幾個步驟：

準確審題是解題的先決條件，思維導圖從題中找出關鍵詞的過程使學生更加重視分析、理解各種信息，并加強信息的全面性與關聯(lián)性，使信息更加系統(tǒng)化更具條理性，極大地提高了審題的準確性。接下來對關鍵詞進行不同角度、不同層次的研判并展開逐級聯(lián)想，聯(lián)想所能想到的知識點和解題思想方法、技巧等，然后經(jīng)過提煉、刪除、綜合等過程得到問題的解決方案。其中聯(lián)想相關的知識點和解題方法應盡可能全面：比如求y=sinx+cosx的最值，這里其中有一個關鍵詞是最值，那么聯(lián)想相關的求最值的所有辦法，而不僅僅是合一變形這一個，比如還有導數(shù)、基本不等式、柯西不等式、二次函數(shù)法，等等，其中的有些方法可以解決這個問題，有些不能，所以學生有時還需要做提煉、刪除工作。這樣做雖然比較麻煩，但是可以使學生對解決一類問題的不同方法進行比較，并加深方法的記憶和掌握不同方法使用的范圍和所需條件，解決現(xiàn)實中學生不知何時采用何種方法的困惑。

例1：（2008年浙江卷理科17題）若a≥0，b≥0，且當x≥0y≥0x+y≤1時，恒有ax+by≤1，則以a，b為坐標點P（a，b）所形成的平面區(qū)域的面積等于.

二、利用思維導圖展現(xiàn)思維的發(fā)散過程，讓學生體驗解題的“突破口”。

思維導圖是一種將放射性思維具體化的方法，它的放射性結構恰好反映了大腦自然思考問題的解決過程，它在快速地聯(lián)想擴展與題目相關的、有內(nèi)在聯(lián)系的清晰和準確的知識或解題思想方法的過程中，往往派生出許多不同的解題方向，而且思維導圖完整的邏輯架構和全腦思考的方式可使解題方法更加全面、自然。

例2：已知實數(shù)x，y，z滿足x+y+z=1，求證：x+y+z≥.

說明：

①作差法：

3（x+y+z）-1=3x+3y+3z-（x+y+z）

=（x-y）+（y-z）+（z-x）≥0

②反證法：類似于作差法

③分析法：本題的所有證法均可寫成分析法

④柯西不等式：

（x+y+z）（1+1+1）≥（x+y+z）=1

∴x+y+z≥

⑤利用常見不等式x+y+z≥xy+yz+zx

∵1=（x+y+z）

=x+y+z+2xy+2xz+2yz

≤x+y+z+2x+2y+2z

∴x+y+z≥

⑥基本不等式：

x+1≥2xy+1≥2yz+1≥2zx+y+z=1?圯x+y+z≥3（等號無法成立）

↓修改為

x+≥xy+≥yz+≥zx+y+z=1?圯x+y+z≥（x=y=z=時等號成立）

⑦二次函數(shù)最值：

令f（x）=x+y+z-

∵x+y+z=1

∴f（x）=x+y+（1-x-y）-

=2（x+）+（y-）

∴［f（x）］=（y-）≥0

∴f（x）≥0

∴x+y+z≥

三、利用思維導圖體現(xiàn)題組的變化過程，讓學生感悟思想方法的“歸納點”。

“題組的變式訓練”將一道靜態(tài)封閉的題目從不同角度、層次、側面出發(fā)變化為一個動態(tài)開放的題目，通過層層啟發(fā)引導、歸納總結，從而達到舉一反三、觸類旁通、靈活應用。鑒于題組變式訓練的卓越效果，許多教師在課堂上采用，而教師也往往通過“例題、變式1、變式2……”的方式展開“變式教學”。我認為若能結合導圖呈現(xiàn)題組的變化過程，則更能讓學生清晰地了解題組中各題目之間的變化過程、解題思想方法類同或聯(lián)系之處，從而在多次強化后自發(fā)自覺地以題組為一個整體構建知識并形成解一類題的思想方法。我在“利用導數(shù)求最值”這一節(jié)復習課中，做過以下嘗試。

說明：還可以幾個因素同時變：

1.f（x）=ax-3x+1對于x∈［-1，1］總有f（x）≥0成立，則a=.

2.設函數(shù)f（x）=，如果對任何x≥0，都有f（x）≤ax，求a的取值范圍.

思維導圖這種以圖表的方式把思維過程表示出來，不僅有利于學生學會如何分析思考解決問題，而且有利于學生進行題后反思，從導圖中可以清晰地了解該題所用的知識點、解題思想方法及解題技巧，當然也利于學生的理解記憶與課堂摘錄。所以思維導圖是老師進行解題教學的有效工具，也是學生學習的好助手。

參考文獻：

［1］東尼?博贊著.張鼎昆，徐克茹譯.思維導圖大腦使用說明書［M］.外語教學與研究出版社.

［2］吳佑華.一題多解話化歸.中學數(shù)學月刊，2005，（10）.