堵住思維漏洞,再現教材嚴謹

姚善志

思維的嚴謹性是數學素養之一.試想如果沒有嚴謹性，我國的“天宮”一號能成功飛天嗎？它的成功飛天要經歷成千上萬道程序，若某一道程序出了一點點問題，那后果是可想而知的。而江蘇教育出版社出版的《普通高中課程標準實驗教科書選修2-1數學》第98頁例4的解法卻有失嚴謹.

例4：已知E、F分別是正方體ABCD-ABCD的棱BC和CD的中點，求（1）AD與EF所成角的大小；（2）AF與平面BEB所成角的大小；（3）二面角C-DB-B的大小.

只看第三問的解答：平面BDC法向量=（-1，1，1），平面BDC的法向量=（-1，1，0），所以cos＜||，||＞==，由此可得向量與的夾角約為35.26°.根據圖形可知二面角的平面角與這個夾角相等或互補，所以二面角C-DB-B約為35.26°.

從上面的解題過程我們可以歸納出求二面角大小的解題步驟是：（1）分別求出兩個半平面的法向量；（2）求出兩個法向量的夾角；（3）根據圖形判斷所求的二面角的類別，是銳角還是鈍角，再根據判斷寫出結果.根據圖形判斷出所要求的二面角是銳角，還是鈍角，只是意會層面的，使學生難以把握.右圖所示的四面體ABCD中AB=BC=CA=2，BD=1，CD=.通過計算不難發現當AD=時，二面角A-BC-D是90°.那么當AD=2.2或AD=2.4時二面角A-BC-D大小接近90°.你能通過肉眼判斷出二面角A-BC-D是銳角還是鈍角？

我認為下面的做法是改進后的好方法：先來分析理論基礎：要求二面角A-BC-D的大小，分別過點A、D作棱BC所在直線的垂線，垂足分別為E、F（即AE⊥BC，DF⊥BC），在面BCD內過點E作直線EG∥DF，交直線BD于G，則：AE⊥BC且EG⊥BC，AEC面ABC，EGC面BCD，則∠AEG就是二面角A-BC-D的平面角.而∠AEG的大小就是與的夾角（注意向量的終點為垂足）.用這種方法解題就避免了“根據圖形可知”的困惑了.現在讓我來用這種方法解上述例4題的第3問：建立圖示坐標系，棱長為1，過C、B分另作直線BD的垂線，垂足為G、H，則二面角C-BD-B的大小即為與的夾角.B（1，1，0），B（1，1，1），C（0，1，0），B（0，0，1）?圯=（1，0，1），=（-1，-1，0），設=λ+（1-λ），?=0得λ=推得=（，-，1）.同理設=μ+（1-μ）得=（0，0，1）.故cos＜，＞=.此處雖然作了垂足，卻設而不求.

再舉一例，以示方法的正確性（由2010年高考天津卷改編）：如圖，在長方體ABCD-ABCD中，E、F分別是棱BC、CC上的點，CF=AB=2?CE，AB∶AD∶AA=1∶2∶4，求二面角A-ED-F的余弦值（原題是求正弦值）.

分析：不妨設AB=1，則AD=2，AA=4，CF=1，CE=，分別過A、F作棱二面角A-ED-F的棱ED所在直線的垂線，垂足分別為G、H.A（0，0，4），E（1，，0），D（0，2，0），F（1，2，1）?圯=（1，，-4），=（-1，，0），=（0，2，-4），設=λ+（1-λ），由?=0得λ=，=（，，-4），同理設=μ?+（1-μ），由?=0得μ=?圯=（-，-，-1）∴cos＜，||＞==÷（4×）=.

這種新方法的最大好處是：不用判斷原二面角的類型（是銳角還是鈍角），在新方法中只要知道二面角大小為兩個垂向量（指向垂足的兩個向量）夾角即可，且計算量較小.