對一道函數題數形結合解答的診斷

嚴菊芳

用數形結合法解題簡單、直觀，往往使我們能迅速得到問題的正確結論，而用此法的關鍵是充分利用條件，畫出與之匹配的圖形，否則容易造成錯解.下面我們來“診斷”一道高考改編題的解答.

已知函數f（x）=ax +bx+c（a>0），α，β是方程f（x）-x=0的兩個實數根，且滿足0<α<β< .若x∈（0，α），則下列各式中①xf（x），④α>f（x）正確的是.

分析題目，我們自然想到用數形結合的方法去解決：將α，β視為y=f（x）與y=x兩函數圖像的交點橫坐標.由于β>α>0，可畫出圖像：當x∈（0，α）時，由圖知f（x）>x，f（x）>α，則選①②.

結論看上去好像一目了然，但是用比較法來考慮時卻出現了與②截然相反的結果.

由于α，β是f（x）-x=0的兩實根，f（x）-x=a（x-α）（x-β），則f（x）=a（x-β）（x-β）+x.

于是f（x）-α=a（x-α）（x-β）+x-α=（x-α）（ax-aβ+1）.

由于0<α<β< ，x∈（0，α），則aβ<1，x<α，得f（x）<α.顯然邏輯推導無懈可擊，那么數形結合法問題出在哪兒？仔細推敲條件，不難發現0<α<β< 這一條件未充分利用，那么它對圖形會產生限制嗎？讓我們來研究對稱軸與α的大小關系.

由韋達定理知：α+β= ，αβ= ，于是b=1-aα-aβ，c=aαβ

比較對稱軸- 與α：- -α=- =- <0

所以- <α，且f（α）-c=α-aαβ=α（1-aβ）>0，即f（α）=α>c，再作出圖像得，當x∈（0，α）時，α>f（x）.

=- =- <0，即- < ，然后正確畫出圖像得到結果.

由此可知，某些數學問題的條件內涵豐富，我們不能根據陳舊的解題經驗想當然地畫出圖形，而需要對條件深入探索，抓住“弱信息”，合理聯系相關知識去剖析才能正確求解.