銀行排隊問題分析及系統優化策略研究

嚴萬全

摘要：在國內銀行業中，排隊等待問題是影響銀行服務質量和服務水平的重要因素。采取有效措施，妥善解決排隊等待問題已成為我國銀行業的當務之急。文章以運籌學作為理論基礎，建立數學模型，深入分析銀行服務系統排隊問題，為銀行合理優化服務系統提供決策參考。

關鍵詞：排隊問題；運籌學理論；數學模型；優化服務

一、引言

銀行網點排隊問題已成為當前社會關注商業銀行服務的焦點，更是貫穿與現代銀行經營管理和市場營銷的始終，排隊問題反映出的是國內銀行對服務意識和渠道營銷的重要性認識不夠。隨著我國金融改革的不斷深入，以理財和個人信貸業務為核心的一系列業務逐漸成為各大商業銀行的重要利潤來源，銀行零售業務越來越在銀行競爭中發揮核心作用。在目前銀行業市場競爭激烈的大背景下，如果排隊現象得不到有效改善、客戶等待時間過長，便會引發銀行服務投訴的增多和部分存款的流失。因此，各商業銀行需要重新認識和定位網點功能，重新布局規劃銀行服務渠道，以及對現有網點進行改造和轉型，深入研究客戶排隊問題。一般地，銀行排隊主要由顧客數量、服務窗口和服務效率等因素決定，所以權衡客戶等待成本與銀行提高服務水平所增加的成本之間的得失，是真正解決銀行排隊難題的重點。

二、銀行排隊問題分析

1、服務系統的構成

銀行網點排隊問題作為一個典型的排隊服務系統，其基本結構包括顧客、服務時間、服務結構和排隊規則。（1）顧客：隨機到達的顧客數量服從泊松分布，滿足平穩性、無后效性、普遍性和有限性的假定，系統中顧客數目不影響客戶到達服務系統的速率。（2）服務時間：相鄰兩個顧客離開系統的時間間隔，在一般情況下，服從參數為μ的指數分布，其中μ為平均服務效率。（3）服務結構：銀行服務系統屬于多通道的并聯系統。（4）排隊規則：銀行服務系統是介于損失制與等待制之間的混合制系統，是一種先到先服務的排隊規則。銀行排隊系統如圖1所示。

2、服務系統運行指標

為使用上方便，本文使用肯達（kenda）與A.M.里氏（lee）歸納的服務系統一致的指標符號。銀行排隊系統有幾個性能指標：系統中平均排隊長度Lq（系統中排隊等候的顧客數）；顧客在系統中的平均等待時間Wq；顧客在系統中平均逗留時間Ws；系統平均總顧客數Ls。常用的數量指標：顧客平均到達率λ；顧客有效到達率λe；窗口平均服務率μ；系統中并聯服務窗口數S；服務強度，即每個服務窗口單位時間內的平均負荷ρ；系統空閑概率P0；系統處于平衡狀態時有n個顧客的概率為Pn。

3、建立合理的數學模型

對于一個服務系統來說，最重要的是了解系統在達到穩定狀態以后的各項運行參數和指標。在服務系統中，假定用系統中的顧客數表示系統的狀態，則系統狀態就是一個n=0,1,2，…的間斷過程。顧客的到達或離去都將引起系統從一個狀態向另一個狀態的變化，即為一個生滅過程。銀行的排隊系統也滿足生滅過程的三個假設條件：（1）顧客到達服從參數為λ的泊松過程。（2）服務時間間隔服從參數為μ的指數分布。（3）對于充分小的時間間隔△t,在區間[t，△t+t]內最多到達一個客戶。所以，銀行服務系統的生滅過程狀態轉移圖如圖2所示，圖中數字表示系統可能的狀態，狀態間箭頭表示狀態轉移方向。λi表示從狀態i轉變到狀態i+1時的顧客到達速率，μi表示從狀態i+1轉變到狀態i時的顧客離開系統的速率。

建立生滅過程的穩態方程得到系統在達到穩定狀態以后的各項運行參數和指標。系統的任意狀態n（n=0，1，2，…）達到穩態的平衡條件是產生該狀態的平均速率等于破壞該狀態的平均速率。現根據這個平衡條件，建立生滅系統的狀態平衡方程。

對于系統狀態n=1的情況，產生和破壞n=1狀態的可能性有下面四種情況，如表一所示。

當產生n=1狀態的概率與破壞n=1狀態的概率相等時，即當

時，系統達到n=1的穩定狀態。

同理，依此類推，當產生n=k狀態的概率與破壞n=k的概率相等時,即

系統保持n=k的穩態。

由此得到一組穩態平衡方程：

將以上關系式經n次迭代最后可得：

既有

（1）

表示系統處于平衡狀態時有n個顧客的概率。

設

又因

所以，銀行系統空閑的概率： （2）

系統中總顧客數的數學期望值：（3）

如果銀行系統中有S個服務窗口，那么當第S+1個顧客到達銀行時開始出現排隊現象，因此

銀行中排隊顧客的數學期望值：（4）

為計算顧客在系統中平均逗留時間Ws與等待時間Wq，引入李太勒（Little）公式。李太勒證明了對于任何的服務系統，無論顧客到達流和服務時間服從何種概率分布，也不論何種服務規則，顧客在系統中和隊列中的平均等待時間可以用公式

（5）

求解得到。其中，λe為顧客有效到達率：

因為對每個顧客的平均服務時間為1/μ

所以，顧客在系統中和隊列中的等候時間滿足關系式：

（6）

下面就銀行常見的服務系統，利用生滅過程的一般公式和李太勒公式來分析銀行系統的優化問題，進而解決銀行排隊等待的難題。

三、銀行服務系統的優化問題分析

任何一個銀行服務系統都有服務費用和排隊損失兩個方面的問題。在正常情況下，服務費用增加，服務水平就高，顧客等待的時間就短，排隊損失就少。反之，減少服務費用，服務水平就降低，顧客等待時間延長，排隊損失隨之增大。因此，對于整個銀行服務系統來說，就有一個使這兩方面的損失和最小的優化問題。但其難點在于如何將費用來衡量排隊損失，以便能夠和服務費用進行比較，這就是排隊損失的價格化問題。對于開放式服務系統而言，影響排隊的因素很多，很難將排隊費用量化。這里假設銀行服務系統為封閉型系統，則可以找到等待時間的價格化函數。所以，銀行服務系統優化問題就是尋求系統總費用最少服務水平最高的點。即minE（TC）=E（SC）+E（WC）

其中，E（TC）表示總費用的數學期望值；E（SC）表示服務費用的數學期望值；E（WC）表示等待費用的數學期望值。

下面就以此為理論依據，討論銀行服務系統的三種優化情況。

1、服務系統中服務效率μ的優化問題

在一般情況下，為提高服務效率就要增加服務費用。假定μ值與服務費用呈線性關系，即SC=Csμ，式中Cs代表μ值增加一個單位所需增加的費用。假定已知等待費用函數為：WC=CWLS，式中CW為每個顧客在系統中停留的單位時間損失的費用。

所以，總費用：TC=Csμ+CWLS

對于簡單的[M/M/1]:[∞/∞/FCFS]系統

LS■

TC=Csμ+CW■

所以TC=Csμ+CW■

令■=0

可得，最優的服務效率：μ*=λ+■

當μ為離散變量時，且μ1＜μ2＜…＜μi＜μm，先把μ當連續變量處理，由上式得到μ*。如果μ*值就是μi序列中的一個值，則μ*就是最優解。如果μ*不是μi序列中的值，那么μ*應滿足TC（μ*）=min[TC（μk），TC（μk+1）]，μk＜μ*＜μk+1

2、服務系統中最佳服務窗口數S的優化問題

在[M/M/S]系統中，服務系統單位時間總費用的期望值可表示為：

TC=C′SC+CWLS

式中，C′S表示一個服務窗口的單位時間成本；CW表示一個顧客在系統中停留單位時間的費用。

因為Ls也是服務窗口數S的函數，所以TC=f（S），且是一個不連續的函數（S=1，2，…）。故采用邊際分析法求解使函數f（S）最小的S*值。

根據f（S*）是最小值，下列不等式成立：

f（S*）≤f（S*-1）f（S*）≤f（S*+1）

最后，可得最優的服務窗口數S*滿足：

LsS*-Ls（S*+1）≤■≤Ls（S*-1）-LsS*

依次求出S=1,2，…時的Ls與■值，得到最優的S*值。

下圖體現了[M/M/S]模型的經濟分析中成本曲線的大致形狀，服務成本隨著服務窗口數的增加而提高，但更多的服務窗口可帶來更好的服務。其結果是，等候時間及其成本隨著服務窗口數的增加而減少。銀行為提高服務水平、降低成本，可以通過對幾個設計方案進行評估求得最優的窗口數S*，從而得到較好的總成本接近最低水平的設計。

3、1個[M/M/2]系統和2個[M/M/1]系統的比較與優化問題

涉及服務系統設計方案的決策往往建立在對系統運行參數進行客觀評價的基礎上。例如某商業銀行為解決排隊問題，向客戶提供更加便捷的服務，準備增加業務窗口，現有兩個方案：一個是在該銀行營業網點附近再增設同樣規模的網點；另一個是在原網點增加一個服務窗口。就兩種方案從服務效率和費用成本兩方面出發作出評估分析。

假設顧客平均到達率λ=0.6人/分，銀行的服務效率μ=0.4人/分。

方案一：相當于兩個[M/M/1]系統，認為顧客到達每個網點的人數是相等的，則顧客到達的速率λ1=0.3人/分。又因兩網點服務效率也相同，故兩個同樣規模的銀行網點的運行參數與原來一個網點的運行參數完全一樣。

方案二：相當于一個[M/M/2]系統，λ=0.6人/分，μ=0.4人/分，S=2，則系統服務強度ρ=λ/Sμ=0.75＜1。

兩種方案運用生滅過程的一般公式和李太勒公式，得到各方案的系統運行參數對比，如表2所示。

對比以上參數可以看出，一個[M/M/2]系統要比兩個[M/M/1]系統的服務水平更好，以此類推。這也說明，一個系統中的排隊隊列共享的服務窗口數越多，服務效率就越高。這一點應該是所有商業銀行在設計服務系統時考慮的一個重要特點。

四、銀行服務系統的優化方案

通過建立銀行排隊問題的數學模型以及對該模型的求解，分析了銀行排隊問題的解決思路。造成銀行排隊問題的原因是多方面的，因此必須多管齊下，針對性的解決問題。可以通過合理調配對外服務窗口數量，實行彈性工作制、配齊大堂經理等措施降低客戶的等待時間，增加電子自助的投入、合理規劃網點、進行網點業務流程再造等是銀行應當采取的重要應對策略。

1、改進服務流程，提高服務效率

圍繞提供給客戶服務的整個流程，進行重新整理和分析．消除其中的無效率工作，增加流程的效率性、方便性，減少客戶等待時間。充分發揮大堂經理的職責：第一，對本網點的服務質量進行管理和監督，及時糾正違反規范化服務標準的現象；第二，識別高、低端客戶，實行差別化服務；第三，根據客戶的需求，向客戶推介和營銷金融理財產品。同時，加大對柜員的培訓力度，增強對柜員的考核激勵，通過定期檢測、客戶滿意度調查，及時掌握服務質量狀況。進一步完善服務投訴處理機制，高效解決問題，切實改進金融服務，提升服務質量。

2、綜合布局營業網點，合理調配窗口設置

加大在業務量較大的地區，特別是經濟發展熱點地區、繁華商業區、大型居民社區、大型批發市場周邊以及新建的、配套設施不完善的地區的網點建設，適當減小每個網點的服務半徑，以較好的滿足金融服務需求。另外，根據客戶允許等待時間最少的優化原則，調整窗口數量，在不同的工作段、不同的工作日設置不同數量的窗口數量，彈性調整服務時間。增加系統中的排隊隊列共享的服務窗口數，推進對公對私一體化的綜合窗口制度，合理利用窗口資源。

3、加大推廣自助化服務的渠道和手段

商業銀行要加大對電子銀行產品的宣傳引導，針對不同層次客戶群的服務需求，提供適宜的電子銀行產品，通過不斷提升電子銀行普及率，充分發揮電子銀行產品對傳統銀行柜臺業務的輔助作用。加強自助產品功能的開發，引導客戶通過網上銀行、電話銀行和ATM自動存取款機等方式辦理業務，最大限度的緩解柜面壓力。另外，各銀行應該適當減免一些電子銀行的交易費用，通過級差制定價，以能提高自助設備的利用率和交易量。最重要的是提高電子銀行的安全系數，打擊一些釣魚網站和詐騙行為，為客戶提供安全的服務環境。

五、總結

本文運用經典的排隊論知識解決排隊問題，優化服務策略，減少客戶排隊時間，提高顧客滿意度，提升銀行同業間競爭力，為現代商業銀行經營管理提供決策參考。從存款、轉賬到繳納各種費用，銀行的每一項業務都關系著民生。增強服務意識，努力改善服務質量，讓老百姓享受到應有的優質高效服務永遠是銀行最大的社會責任。總之，銀行排隊問題有其深刻的經濟根源，具有長期性的特點，只有認清問題產生的根源，采取針對性措施才能從根本上有效地緩解銀行排隊問題。

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