加強數學素養,還課堂教學以生命的靈性

袁紅霞

概率是處理隨機現象（不確定現象）的一門科學，這些內容是一種“不確定性數學”內容，與傳統的“確定性數學”內容有較大區別。最近聽了不同年級關于概率的幾節課，引發了我對概率知識及課堂處理的思考。

片段一：在二年級課題為“可能性”的公開課上，老師講了可能性的一些例子后，設計了讓學生講一講生活中的“一定”“可能”“不可能”的例子。許多學生講對了，但有一個學生講的例子是：“我們一定要注意安全。”老師猶豫了一下，給出的評價是“好”。受此影響，接下來幾個學生講的例子是：“上課我們一定要認真聽講。”“媽媽明天一定會來看我。”“吃飯前一定要洗手。”老師當時沒有反應過來，未能及時糾正學生的錯誤。

思考：概率上的“一定”、“可能”、“不可能”分別對應概率為1、0—1、0，和生活中的語言“一定”是有本質區別的。課堂上學生講的例子“上課我們一定要認真聽講”、“吃飯前一定要洗手”中的“一定”其實是“應該”，是一種倡導性的語言。而“媽媽明天一定會來看我”中的“一定”其實是很可能。我們不能因為語句中出現了“一定”“可能”“不可能”等詞匯，就認為它屬于數學“可能性”的研究范疇。我認為教師在實際教學中不要設計這樣的問題，以避免和生活語言混淆，而應根據學生的實際水平，設計能判斷的不確定現象或隨機現象，例如，“任意找兩個自然數，它們的和可能是雙數，可能是單數。”等。

片段二：三年級的“等可能性”，四人小組在裝有3個紅球、3個黃球的口袋中重復摸球40次。6個小組合計摸到紅球119次，黃球121次。學生發現：摸到紅球的次數和黃球的次數差不多。老師對此作推理：在口袋里任意摸一個球，摸到每個球的可能性一樣大；由于紅球和黃球的數量相等，因此摸到紅球和黃球的可能性相等。

思考：根據口袋里有3個紅球、3個黃球，學生憑直覺能判斷摸到紅球與黃球的可能性相等。但是，這個年齡階段的學生不適宜通過這樣的推理得出結論，只有在直觀的操作活動中加以感受。尚且操作活動得出的結果并不是事件發生的可能性，而是事件發生的頻率。因此如果不理解教材的編排特點，不理解教學內容的重點、難點，在教學過程當中稍不留意就會出現“越位”。

為了讓學生逐步感受、體會概率知識，從二年級開始，概率的基本思想方法即有序進入學生數學學習視野。根據課程標準的要求和學生的認知水平，教材在第一、二兩個學段分四次安排教學可能性的知識。教材編排不僅在取材上以“摸球”“轉盤”的相似情境貫穿前后，體現出很強的連貫性和整體感，而且在教學要求上也是逐漸提升，各有側重，既有連續性又有發展性，層層推進，拾級而上。這樣，就能使教學的針對性、有效性更強。

片段三：四年級的“游戲規則的公平性”，通過“拋硬幣”讓學生理解“出現正面和反面的可能性都是一樣的”。小組活動“拋硬幣”后，一位老師巡視了各小組記錄單后，只讓那些正反面次數相差不大的小組匯報，而沒有讓那些正反面次數相差較大的小組匯報。然后，老師指著匯總的數據說：“同學們經過試驗，大部分同學出現正反面的次數相差不多，所以，任意拋一枚硬幣，出現正面和反面的可能性都是一樣的。”

思考：老師對學生“拋硬幣”的結果這樣處理，顯然是一種錯誤的概率觀。其實只要符合獨立重復的條件，學生的試驗都是正確的，他們的實驗結果也是有價值的。教師可以將學生的實驗結果全部匯報出來，縱觀各組數據，學生會發現：有時正面朝上多，有時反面朝上多，有時一樣多，正面朝上的次數和反面朝上的次數差不多。說明游戲是公平的。這樣讓學生做出比較和分析，對公平性有一個豐富的、全面的、正確的認識。

由于教師概率知識缺乏，對“頻率與概率”“試驗與結果”等概念認識不清，一些教師往往會在潛意識中對試驗結果有一些錯誤的希望，例如在裝有4個紅球和4個白球的袋中重復摸球，“摸得次數足夠多，摸到紅球和白球的次數會相等”“摸的次數足夠多，摸到紅球和白球的次數相差很小”“摸的總次數越多，摸到紅球和白球的次數相差得越小”“公平的游戲輸贏的次數應該差不多”“公平的游戲平的次數最多”等。也有的教師試圖用概率的統計意義（即用頻率估計概率的方法），引導學生用“猜想—驗證”的方式來讓學生理解等可能性，或證明設計的游戲規則是否公平，這是違背概率論的。“等可能性”可以從概率的古典定義的角度去認識——因為拋的結果只有兩種可能，且兩種結果的可能性相等，所以該隨機事件的概率是二分之一，卻不能通過試驗、游戲來驗證、證明；而試驗、游戲可以讓學生體驗等可能性和隨機性的辯證統一，培養學生的隨機思維。在課堂上引入隨機試驗，既不是讓學生得出次數相等的結果，又不是要驗證、證明規則的公平性，更不是要利用試驗得到概率的估計值，而是讓學生在進行隨機試驗和收集數據的過程中，進一步體會隨機的思想，感受、領悟等可能性。在教學中，教師要想心中有數、有的放矢地駕馭好涉及簡單概率知識這部分教材，必須較完整地學習概率知識，理清邏輯順序，梳理知識結構，理解基本概念。

片段四：在教學“用分數表示可能性大小”這一內容時，例題1以猜左右爭奪發球權為情境，在教學這個例題時，老師引導討論交流:這樣的規則是公平的嗎?為什么?學生這樣解釋：人有兩只手，乒乓球在一只手里，所以可能性是二分之一。與例題2配套的“試一試”是在裝有3個紅球和2個黃球的袋中摸球，摸到紅球的可能性是多少？學生這樣解釋五分之三的意義：一共有5個球，其中3個是紅球，所以摸到紅球的可能性是五分之三。

思考：例題和試一試提供的素材都是靜止的材料，即使學生沒有學習這一知識也能根據分數的意義得到表示可能性大小的分數。于是老師認為教材太簡單了，沒有多大的意義。實則不然，用分數表示的概率，其分母表示一共有多少種可能性相等的情況，分子表示其中可能發生的幾種情況。這一教學內容不僅要教會學生正確計算概率的方法，而且要注意引導學生理解概率的意義。如果一堂課下來，學生沒有這些概括、認識，那么本堂課的知識目標也就沒有達成，如解決練習十八第六題：小芳和小娟做“石頭、剪刀、布”的游戲，小芳獲勝的可能性是幾分之幾？學生就不能真正明白：求小芳獲勝可能性的大小要列舉出所有可能出現的情況和小芳獲勝的情況。

這里需要注意的是另一種思路：一回合的結果有三種：小強勝，小強負，平手，所以小強勝的可能性是三分之一。這種分析方法在這個具體問題當中是正確的，但這不是一般的分析方法，因為這里的“小強勝”、“小強負”、“平手”都不是基本事件，都包含若干個基本事件，比如“小強勝”這個事件就包含“小強出石頭—小麗出剪刀，小強出剪刀—小麗出布，小強出布—小麗出石頭”這三種情況。之所以這里用這種方法得到的答案是正確的，是因為“小強勝”“小強負”“平手”這三個事件包含的基本事件數都是三個，是相等的。

客觀地說，現在的小學數學教師系統學習過概率論知識的并不多，因此出現本位性知識缺失、知識體系把握不準、數學思想挖掘不夠的現象不足為奇。而要引導學生領會事件發生的隨機性、事件發生結果的必然性、大量隨機現象中的統計規律性，教師就必須較深入地學習這些知識，提高自身的數學素養，教師具備了扎實的數學專業基礎，才能夠全面把握數學學科知識，教學才能統攬全局，還課堂教學以生命的靈性。