納什均衡與我們的生活

劉亞婷

摘要： 納什均衡是博弈論的一個重要術語，以約翰·納什命名。納什均衡就是在人有限非合作博弈中的所有參與人的最優策略組合。由于一個博弈的納什均衡解可能只有一個，也可能有多個，于是關于納什平衡點精煉的問題逐漸被提出，而每一種精煉都是為了剔除某種不合理或者脆弱的納什平衡點，從而就產生了子博弈納什均衡、貝葉斯納什均衡、精煉貝葉斯納什均衡。

關鍵詞： 博弈論納什均衡生活

納什均衡（Nash equilibrium），又稱為非合作博弈均衡，是博弈論的一個重要術語，以約翰·納什命名。博弈論，又叫做游戲理論或對策論，是一門以數學為基礎，研究對抗沖突中最優解問題的學科。雖然博弈論從本質上來講是研究決策問題，但與傳統的決策分析相比，博弈論更加關注的是博弈決策中博弈各方的互動行為。博弈論思想最早源于中國古代，成書于春秋時期的《孫子兵法》中的軍事理論與治國策略就蘊含了豐富深刻的對策思想。博弈論真正成為數學的一個分支始于1944年，Von Neumann和Morgenstern合作的《博弈論與經濟行為》一書的出版，第一次給博弈（game）以明確的數學描述；對博弈現象最早用數學方法來研究的則是數學家E.Zermelo，始于國際象棋，體現于其論文《集合論在象棋對策中的應用》（1912）；其后法國數學家Borel討論引入了“最優策略”，并證明了其普遍存在性，同時預測了一些結論；在1950年和1951年，納什提出了非合作博弈的均衡解，并證明了均衡解的存在，自此博弈發展到了一個很重要的階段；到了二十世紀八九十年代，博弈論逐漸走向成熟，其發展已進入前所未有的輝煌時期，博弈論重構經濟學大廈的趨勢正逐步變為現實，在經濟學中的應用越來越廣泛，并正以主流經濟學的面貌出現。隨著博弈論的不斷成熟，它不僅僅在經濟領域和數學領域被廣泛研究，我們發現博弈的思想在日常生活中無處不在，博弈就像空氣，時刻伴隨在我們身邊，例如有名的“囚徒困境”、“智豬博弈”、“性別大戰”等，還有小孩子們玩的“石頭剪刀布”、“擲硬幣”，大人們玩的“斗地主”、麻將、象棋、乒乓球等都是博弈論的應用。如果將博弈論與生活結合起來，那么生活中每個人都如同棋手，其每一種行為如同在一張隱形的棋盤上布一個子，精明慎重的棋手們相互揣摩、相互牽制，人人爭贏，下出許多精彩紛呈、變化多端的棋局，而博弈論正是研究棋手們的策略與技巧，并將其系統化的一門科學。換句話說，就是研究個體如何在錯綜復雜的相互影響中找到最合理的策略。

一

在博弈論中，納什是完全信息靜態博弈的代表人物，他在1950年和1951年發表的兩篇論文中定義了非合作博弈及其均衡解，并給出了均衡解的證明，后來人們稱它為納什均衡，即是假設有個參與人博弈，給定其他人戰略的情況下，每個人選擇自己的最優策略（個人最優策略可依賴于也可能不依賴于其他人的策略），所有參與人選擇的策略一起構成一個策略組合。納什均衡指的就是所有參與人的最優策略組合。為了清楚地了解納什均衡，我們就以“囚徒困境”為例。據說有一位富翁家中財物被盜，警方通過此偵破此案，發現有兩個嫌疑人A和B，將他們抓獲后從他們的住處搜出受害人家中丟失的財物。但是，他們都矢口否認，于是警方將兩人分開審訊。為了擊垮他們的心理防線，警方告訴他們，如果主動坦白，可以從輕處罰；如果頑抗到底，一旦同伙招供，就要受到嚴懲。當然，如果兩人都坦白，就不存在“主動交代”，兩人都要受到嚴懲，只不過比抵賴要處罰輕一些。在這種情形下，兩個囚犯都可以作出自己的選擇，或者招供，即與警察合作，從而背叛他的同伙；或者保持沉默，與警察對抗到底。這樣，就會出現以下幾種情況：

在這個例子里，納什均衡就是（坦白，坦白），在給定B坦白的情況下，A的最優策略是坦白，同理，給定A坦白的情況下，B的最優策略也是坦白。實際上，這里的（坦白，坦白）不僅是納什均衡，而且是一個占優策略均衡，就是說，不論對方如何選擇，個人的最優選擇都是坦白。比如說，若B抵賴，A坦白的話被放出來，抵賴的話被判1年，所以坦白比抵賴好；若B坦白，A坦白的話被判8年，抵賴的話被判10年，所以坦白還是比抵賴好，這樣坦白既是A的占優策略，又是B的占優策略，結果是每個人都選擇坦白，各判8年。“囚徒困境”反映了個人理性與集體理性的矛盾，雖然兩個都抵賴各判刑1年顯然比都坦白各判刑8年好，但是他不滿足個人理性要求，即（抵賴，抵賴）不是納什均衡。

“囚徒困境”的思想在我們的日常生活中有著廣泛的應用，比如市場上的商家常常通過降價來爭奪市場，假設商家A和商家B是某市場上的兩個競爭對手，他們原來用同一種較高的價格銷售相同的產品，若這兩商家不滿足他們原來的市場份額和利潤，就都想通過降價來爭奪更大的市場份額和利潤。但值得注意的是，當自己的降價引起對手的報復時，這種目的就不一定達到。假設兩商家在原來的高價策略下各可以獲利200萬元，若商家A單獨降價可以獲得250萬元利潤，此時商家B因為市場份額被商家A搶去利潤將下降到80萬元，此時商家B也采取了降價，則兩商家都只能得到120萬元利潤，此時博弈可以由下表表示：

由此表容易看出，假設商家B采用高價策略，那么商家A采用高價的200萬，采用低價得250萬，由于250大于200，商家A應采用低價，假設商家B采用低價，那么商家A采用高價得益80萬，采用低價得益120萬，由于120大于80，因此商家A也采用低價，用同樣的方法分析商家B，商家B也應選低價策略，因而這個博弈的最終結果就是兩商家都采用低價，最終各得120萬元利潤，即（120，120）就是納什均衡解。當然囚徒困境思想的應用不僅僅是這一個例子，它還應用在公共產品的供給、軍備競賽、股票市場等許多方面。

二

由于一個博弈的納什均衡解不止一個，有些博弈可能有無數個納什均衡解，于是澤爾騰在1965年通過對動態博弈的分析完善了納什均衡的概念，定義了“子博弈精煉納什均衡”，這個概念的中心意義是將納什均衡中包含的不可置信的威脅戰略剔除去，使均衡戰略不再包含不可置信的威脅。他要求參與人的決策在任何時點上都是最優的，決策者要隨機應變，而不是固守舊略。由于剔除了不可置信的威脅，在許多情況下，精煉納什均衡也縮小了納什均衡的個數。當然這里應該指出的是一個精煉均衡首先必須是一個納什均衡，但納什均衡不一定是精煉均衡，只有那些不包含不可置信威脅的納什均衡才是精煉納什均衡。例如：假如有一個富家千金愛上了一個窮小子，可是姑娘的母親覺得并不門當戶對，于是姑娘的母親堅決不同意，并威脅說，若女兒與小伙子不斷絕戀愛關系，她就與女兒斷絕母女關系。若女兒相信母親的話，女兒就會中斷與小伙子的戀愛關系，因為戀人可以重新選擇，而母親則無法重新選擇。問題是假設女兒堅持到底最終與小伙子結婚，母親難道真的會去斷絕母女關系嗎？一般來說是不會的，因為斷絕母女關系對母親的損害會更大，這就是說，母親的威脅是不可置信的。聰明的女兒當然會明白，一旦與男友生米煮成熟飯，母親只好妥協。結果是女兒會勇敢地堅持戀愛并結婚，母親最終承認那個她當初并不喜歡的女婿。這就是此博弈中唯一的精煉納什均衡。

納什均衡和子博弈完美納什均衡所反映的博弈都包括了一個基本假設，即博弈的結構、博弈的規則、所有局中人的策略空間和支付函數都是共同知道的，滿足這樣一個假設的博弈稱為“完全信息博弈”，但在現實生活中這一假設往往得不到滿足。在非合作博弈中，局中人對博弈的結構和其他局中人的特征并沒有準確的了解的情況叫“不完全信息博弈”。在1967年以前，博弈論專家對不完全信息博弈是束手無策的，直到1967年至1968年海薩尼提出了不完全信息靜態博弈，并定義了貝葉斯納什均衡，即在不完全信息靜態博弈中，參與人同時行動，沒有機會觀察到別人的選擇，給定別人的戰略選擇，每個參與人的最優策略依賴于自己的類型，由于每個參與人僅知道其他參與人的類型的概率分布而不知道其真實類型，他不可能準確地知道其他參與人實際上會選擇什么策略，這樣他決策的目標就是在給定自己的類型和別人的類型依從策略的情況下，最大化自己的期望效用。也就是說，貝葉斯納什均衡就是給定自己的類型和別人類型的概率分布的情況下，每個參與人的期望效用達到了最大化。這種類型的例子在生活中也是無處不在，例如：某交通局有一段柏油路要包出去，通過招投標來進行。假設招標的辦法為一級密封投標，讓每個投標者將自己的標價寫下并裝入信封，一同交給交通局，信封打開后交通局選擇標價最低者為中標者，此時不同的投標者之間進行的就是一場博弈。假定每個投標者都不知道其他投標者的真實生產成本而僅僅知道其概率分布，那么他在選擇自己的報價時就面臨著一種交替：一方面報價越低，中標的可能性越大，但另一方面，給定中標的情況，報價越低，利潤就越小。分析證明，每個投標人的標價都依賴于他的生產成本，但一般來說，生產成本會低于貝葉斯納什均衡標價，二者之間的差異隨總投標人數的增加而減少，也就是說，投標人越多，交通局越有利。

三

前面說了靜態博弈，其實在生活中還有動態博弈。在一個動態博弈中，行動是分先后次序的，后行動者可以通過觀察先行動者的行動獲得有關后者偏好、戰略空間等方面的信息，修正自己的判斷。就像日常生活中通過觀察某人的行為表現來了解其品德一樣，顯然，先行動者知道自己的行為有傳遞自己特征信息的作用，就會有意識地選擇某種行動來掩飾自己的真實面目。當然，在均衡狀態下，理性人是不會被蒙混的。1975年澤爾騰和克瑞普斯（1982年）等人相繼給出了不完全信息動態博弈的精煉貝葉斯納什均衡的定義，即是當事人根據所觀察到的他人的行為來修正自己有關后者類型的主觀概率，并由此選擇自己的行動。在我們的生活中，這樣的例子也很多，例如：“黔驢之技”的故事就是一個不完全信息動態博弈：一頭毛驢被帶到貴州時，老虎從沒見過驢子見它威武高大，心想它的本領一定很大。老虎就很好奇，于是憑著這個判斷，老虎就躲在樹林里偷偷觀察毛驢，這是它的最優選擇。過了一會兒，老虎走出樹林，逐漸靠近毛驢，就想獲得這個龐然大物的真實本領的信息。突然毛驢大叫一聲，老虎嚇了一跳，急忙逃走，這也是老虎的最優選擇，因為毛驢的叫聲是老虎意料之外的。過了兩天，老虎又來觀看，發現毛驢除了會大聲叫之外沒什么本領，可是仍然不敢吃毛驢，因為它還是不完全了解毛驢的真實本領。后來，老虎逐漸靠近毛驢，并故意往毛驢身上擠，毛驢實在忍無可忍，就往老虎身上踢了一腳，這下老虎反倒高興了，因為它知道了毛驢不過就這點真實本領，此時，老虎對毛驢就有了全面的了解，于是撲過去就把毛驢吃掉了。在這個故事里，老虎通過觀察毛驢的行為逐漸修正了對毛驢的看法，直到看清它的真實本領，最后把它吃掉，就是一個精煉貝葉斯均衡，而老虎的每一步行動都是給定它的判斷下最優的。事實上，毛驢的行為也是理性的，它知道自己技能有限，不到萬不得已它不會用僅有的一技，否則它早就被老虎吃掉了。這種博弈的思想在生活中也很多，比如：強者欺負弱者，信號傳遞模型，等等。

以上這些例子是我們日常生活中經常碰到的，這些博弈的思想也不知不覺地被人們使用，雖然博弈的例子數不勝數，但有一個共同特點，即參與者都是在每一場博弈中尋求自己的最優解。其實，人生就是一個不斷合作和競爭的過程，在這些合作與競爭中，每個人都想使自己的利益最大化，從而得到一個自己認為滿意的結果。由此看來，學習博弈論的目的不在于解法而在于尋求巧妙的策略，學習博弈論不是為了享受分析博弈的過程，而在于贏得更好的結果。博弈的思想來自現實生活，它既可以高度抽象地用數學來表述，又可以用日常事例來說明，并運用到生活中去，沒有高深的數學知識，我們同樣可以學習博弈論并成為生活中的策略高手，就像孫臏沒有學過高數，但是這并不影響他通過最優策略來幫助田忌贏得賽馬。

參考文獻：

［1］張維迎.博弈論與信息經濟學.上海人民出版社，2004.

［2］謝識予.經濟博弈論，（第二版）.復旦大學出版社.