三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的應(yīng)用

■朱 承

三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的重要作用在于,它揭示了終邊在不同象限但具有一定對稱關(guān)系(關(guān)于原點(diǎn)、坐標(biāo)軸或直線y=±x對稱)的角的三角函數(shù)間的內(nèi)在聯(lián)系,從而可以將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化到一個(gè)較小的特定范圍來研究。

一、知角求值型問題

例 1 求 sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)sin(-1050°)的值。

分析:利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行角的變換。

解:原 式 =-sin1200°cos1290°-cos1020°sin1050°=-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)·sin(2×360°+330°)=-sin120°cos210°-cos300°sin330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)=sin60°·

評注:知角求值,要分析特殊角和待求角之間的聯(lián)系,設(shè)法用特殊角通過誘導(dǎo)公式表示待求角。

二、知式求值型問題

分析:先利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式將所給的三角函數(shù)式化簡,再求值。

評注:求解這類問題時(shí),一般應(yīng)從變形化簡開始,只有從所涉及的角中分離出2π的整數(shù)倍,才能運(yùn)用誘導(dǎo)公式。三角函數(shù)式的化簡求值,一定要注意公式的正確運(yùn)用,有時(shí)是直接運(yùn)用,有時(shí)則需化簡后運(yùn)用。

三、知值求值型問題

分析:先對所求三角函數(shù)與已知的三角函數(shù)中的角進(jìn)行比較,再采用整體分析的方法,建立角與角之間的聯(lián)系。

(2)cos(15°-α)=sin[90°-(15°-α)]=sin(75°+α)。因α 是第三象限角,所以sin(75°+ α)＜ 0,sin(75° + α)=sin[-90°+(75°+α)]=-sin[90°-(75°+α)]=

評注:整體觀察角的結(jié)構(gòu)特征,將所求的三角函數(shù)值中的角轉(zhuǎn)化為所給角與特殊角的和與差的形式,實(shí)現(xiàn)由未知向已知的轉(zhuǎn)化。