善尋規(guī)律,巧妙突破

李鵬鑰

摘要： 作者對在平時教學(xué)中，以及在歷年中考中常見的規(guī)律題如何正確求解進(jìn)行了分析和探索。面對此類題目首先要樹立信心、耐心讀題，善于捕捉有用信息，然后循序漸進(jìn)、順藤摸瓜，尋找本源、透過現(xiàn)象看本質(zhì).

關(guān)鍵詞： 數(shù)學(xué)中考規(guī)律題心理支撐基本解題策略

從小學(xué)到中學(xué)，對于按規(guī)律填數(shù)，按規(guī)律寫出第n個數(shù)或式子的表達(dá)式等題型頻頻出現(xiàn)，在各級各類教輔用書上更是屢見不鮮，在近幾年各地數(shù)學(xué)中考題中也時有現(xiàn)身，這類問題學(xué)生往往感覺比較棘手.本文就近幾年中考題中出現(xiàn)的這類題目進(jìn)行分類整理，以探求出解決此類問題的心理支撐和基本策略.

1.樹立信心，學(xué)會讀題，正確捕捉有用信息。

此類問題有個很明顯的特點，即題目長度和信息容量都很大，學(xué)生拿到題目從心理上很可能會被題目所嚇倒，從而產(chǎn)生不愿去探求的念頭.在復(fù)習(xí)中，首先應(yīng)讓學(xué)生突破心理障礙，以一種輕松游戲的心理去閱讀試題，試題的長度僅僅是表述得更加直白，讓學(xué)生感受到其中的游戲氛圍，融入題目中，進(jìn)而便能產(chǎn)生探求欲，為正確把握住變化規(guī)律打好基礎(chǔ).

例1：如圖①，小慧同學(xué)把一個正三角形紙片（即△OAB）放在直線l上，OA邊與直線l重合，然后將三角形紙片繞著頂點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點O運動到了點O處，點B運動到了點B處；小慧又將三角形紙片AOB繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)120°，此時點A運動到了點A處，點O運動到了點O處（即頂點O經(jīng)過上述兩次旋轉(zhuǎn)到達(dá)O處）.

小慧還發(fā)現(xiàn)：三角形紙片在上述兩次旋轉(zhuǎn)的過程中，頂點O運動所形成的圖形是兩段圓弧，即和，頂點O所經(jīng)過的路程是這兩段圓弧的長度之和，并且這兩段圓弧與直線l圍成的圖形面積等于扇形AOO的面積、△AOB的面積和扇形BOO的面積之和．

小慧進(jìn)行類比研究：如圖②，她把邊長為1的正方形紙片OABC放在直線l上，OA邊與直線l重合，然后將正方形紙片繞著頂點按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，此時點O運動到了點O處（即點B處），點C運動到了點C處，點B運動到了點B處；小慧又將正方形紙片AOCB繞頂點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，……按上述方法經(jīng)過若干次旋轉(zhuǎn)后．她提出了如下問題：

問題①：若正方形紙片OABC接上述方法經(jīng)過3次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程，并求頂點O在此運動過程中所形成的圖形與直線l圍成圖形的面積；若正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過5次旋轉(zhuǎn)，求頂點O經(jīng)過的路程；

問題②：正方形紙片OABC按上述方法經(jīng)過多少次旋轉(zhuǎn)，頂點O經(jīng)過的路程是π?

請你解答上述兩個問題．

如此長的題目表述是絕大多數(shù)學(xué)生考試的“殺手”，解決此題的關(guān)鍵要具備以下兩點.

首先，要從心理上堅決克服畏懼心理，一定要有細(xì)心、耐心和堅強(qiáng)的自信心等心理品質(zhì)，不要被冗長的文字所嚇倒.

其次，要學(xué)會讀題、審題、善于捕捉住題中有用的條件和線索，去除一些與解題目標(biāo)相距甚遠(yuǎn)和影響思維進(jìn)展的干擾信息，進(jìn)而找出所給有用信息之間的規(guī)律性聯(lián)系.

當(dāng)然，能夠較順利獲得上述的追求，需要我們在平時教學(xué)中多加訓(xùn)練，日積月累，必定能讓學(xué)生以一種輕松的心態(tài)面對這類試題.

2.循序漸進(jìn)，合情推理，正確把握題目規(guī)律。

找規(guī)律問題一般都是歸納推理和類比推理之類的問題，正是基于這樣的合情推理的范疇，我們更要在平時訓(xùn)練中多加訓(xùn)練學(xué)生的思維習(xí)慣，通常的思維程式是從特殊到一般，由簡單到復(fù)雜，循序漸進(jìn)，努力讓學(xué)生把握住變化的規(guī)律.

例2：如圖2，小明作出了邊長為1的第1個正△ABC，算出了正△ABC的面積.然后分別取△ABC的三邊中點A、B、C，作出了第2個正△ABC，算出了正△ABC的面積.用同樣的方法，作出了第3個正△ABC，算出了正△ABC的面積……由此可得，第10個正△ABC的面積是（）.

思維過程:

第一步:很容易算出第一個三角形的面積：得S=1××=，即S=.

第二步:根據(jù)第二個三角形的作法知第二個三角形與第一個三角形相似且相似比為，因為相似三角形的面積比是相似比的平方所以可得S=S=×，依次類推，第三個三角形面積是第二個三角形面積的，即S=S=（）S=（）×，

S=S=（）S=（）×，

……

第三步:至此，規(guī)律便易發(fā)現(xiàn)：S中的n與后面式子之間的關(guān)系是什么？要注意下標(biāo)與指數(shù)之間的關(guān)系：S=×（），于是得S=×（）.

由此可見，在解答此類問題一定要訓(xùn)練學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，遵循合情推理的發(fā)展規(guī)律，由簡單到復(fù)雜，循序漸進(jìn)，真正把握題目的本質(zhì)規(guī)律.

3.順藤摸瓜，尋找本源，透過現(xiàn)象看本質(zhì)。

有些找規(guī)律的問題，不僅僅考查學(xué)生能否準(zhǔn)確找到規(guī)律，有時還要查考發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程，抑或考查規(guī)律的實質(zhì)或源頭，真正發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神.所以，在平時教學(xué)中，也應(yīng)適當(dāng)?shù)貙σ?guī)律的本質(zhì)進(jìn)行有針對性的訓(xùn)練與思考，不能就題講題，而應(yīng)幫學(xué)生去尋找知識的本質(zhì).

例3：下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：

第1個數(shù)：-1+；

第2個數(shù)：-1+1+1+；

第3個數(shù)：-1+1+1+1+1+；

……

第n個數(shù)：-1+1+1+…1+．

那么，在第10個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)中，最大的數(shù)是（ ）.

A．第10個數(shù)B．第11個數(shù)C．第12個數(shù)D．第13個數(shù)

我們看看本題的解題過程：

第一步:先仔細(xì)計算給出的前三個數(shù)，

第1個數(shù)計算結(jié)果為-=0

第2個數(shù)計算結(jié)果為-××=-=-

第3個數(shù)計算結(jié)果為-××××=-=-

第二步:觀察前三個數(shù)的計算過程發(fā)現(xiàn)：從第二個數(shù)開始后面多乘的兩個數(shù)乘積都為1，于是可把發(fā)現(xiàn)寫成如下形式：

第1個數(shù)計算結(jié)果為-

第2個數(shù)計算結(jié)果為-

第3個數(shù)計算結(jié)果為-

第三步:于是猜想第4個數(shù)計算結(jié)果為-，通過驗證發(fā)現(xiàn)是正確的，

……

猜想:第n個數(shù)的計算結(jié)果為-.

第四步：由于容易比較前面的、、、…、、、，發(fā)現(xiàn)它們是遞減的，所以得到一般性的規(guī)律：代數(shù)式-是隨著n的增大而減小，從而在第10個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)中，最大的數(shù)是第10個數(shù).

從上面的解題過程來看，對于發(fā)現(xiàn)式-的過程及該式為遞減的過程是極其重要的思維方式，既用到了歸納，又用到了類比，這樣的發(fā)現(xiàn)過程是較為理性地發(fā)現(xiàn)了變化的本質(zhì)規(guī)律，對學(xué)生的影響是重大的。不僅有感性的一面，而且更多的是學(xué)會了一種思維方式，對學(xué)生的數(shù)學(xué)理性精神傳承也起到了重要作用.