數學轉化思想在高考解題中的兩類應用

羅為民

〔關鍵詞〕 數學教學；轉化思想；解題；應用

〔中圖分類號〕 G633.6〔文獻標識碼〕 A

〔文章編號〕 1004—0463（2012）18—0085—０1

數學轉化思想是非常重要的數學思想方法之一.在解決數學問題時，我們應用數學轉化思想，將陌生的“新問題”轉化為熟悉的“舊問題”，將“繁雜的問題”轉化為“簡單的問題”，從而使問題迎刃而解.現將數學轉化思想在兩類高考解題中的應用舉例說明如下，希望能對廣大學子們有所啟迪和幫助.

結論一：已知函數y=f（x），x∈D（D是定義域），M∈R，且f（x）存在最值.

（1）對?坌x∈D，f（x）≥M恒成立?圳f（x）min≥M，x∈D.

（2）對?坌x∈D，f（x）≤M恒成立?圳f（x）max≤M，x∈D ；

（3）對?坌x1、x2∈D，恒有│f(x1)－f(x2)│≤f(x)max－f(x)min成立.

結論二：已知函數f(x)，x∈D（D是定義域）, M ∈R，且f（x）存在最值.

（1）若?堝x∈D，使得f(x)≤M成立?圳f(x)min≤M，x∈D；

（2）若?堝x∈D，使得f(x)≥M成立?圳f(x)max≥M，x∈D.

例1已知f（x）=■x3-bx2+2x+a ，x=2是f（x）的一個極值點.

（1） 求函數f（x）的單調區間；

（2） 若當x∈[1，＋∞)時，f（x）-■>a2恒成立，求實數a的取值范圍.

解：（1）f′（x）=x2－2bx＋2，由已知得f′（2）=4－4b＋2=0，故b=■.

故f′（x）=x2－3x＋2=(x－1)(x－2)，由f′（x）>0得x<1或x>2；由f′（x）<0得1

（2）由（1）知f(x)在（1，2）上單調遞減，在（2，＋∞）上單調遞增，故當x∈[1，＋∞）時，f（x）在x=2處取得最小值，f（x）min=f（2）=a＋■.由x∈[1，+∞）時，f（x）－■>a2恒成立?圳f（x）min－■>a2， x∈[1，+∞）?圳a>a2 ?圳0

例2(2011年全國高考浙江卷) 設函數f(x)=a2lnx－x2＋ax，a>0.

（1）求f(x)的單調區間；

（2）求所有的實數a，使得e－1

解：（1）由已知得f′(x)=■－2x＋a=－■ =-■，x∈(0，+∞).∵a>0，∴f(x)的增區間為（0，a），減區間為（a，+∞）.

（2）由題意得 f(1)=a－1≥e－1，即a≥e.∴[1，e]?奐（0，a），∴由（1）知f(x)在[1，e]內單調遞增，故有 f（x)max=

f（e）=a2-e2+ae，f（x）min=f(1)=a-1.

故e－1例3已知函數f(x)=ax3+bx2-3x在x =±1處取得極值.

（1）求函數f(x)的解析式；

（2）求證：對于區間[-1，1]上任意兩個自變量的值x1、x2，都有 ｜f(x1)-f(x2)｜≤4.

解：（1）f′（x）=3ax2+2bx-3，依題意得f′（1）=f′（-1）=0，即3a+2b-3=3a-2b-3=0，解得a=1，b=0，故

f（x）=x3-3x.

（2）f′(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1)，故當x<-1或x>1時，f′（x）> 0；當-1

∴f(x)max=f(-1)=2，f(x)min=f(1)=-2.

故對于區間[-1，1]上任意兩個自變量的值x1、x2，都有∣f（x1）-f（x2）∣≤f(x)max-f(x)min=2-(-2)= 4.

總之，在解決數學問題時，只要善于運用數學轉化思想，就能將問題化“新”為“舊”，化“繁”為“簡”，化“陌生”為“熟悉”，數學思想方法的運用，將在解決問題的過程中起到神奇的效果，從而使一些較復雜的數學問題迎刃而解，達到解決問題的目的.

編輯：謝穎麗