盤點初中數學中的最值問題

劉明海

初中數學中有很多最值問題的研究，無論是代數方面還是幾何方面，經常涉及到求最大小值的問題。最值問題和我們的實際生活聯系非常緊密，比如怎樣最省、最快、最節約材料等。下面，我就初中數學中的最值問題舉例說明。

一、兩點的所有連線中，線段最短，即兩點之間線段最短

由這個結論我們還可以得到三角形三邊的關系：三角形的任意兩邊之和大于第三邊。利用它求最值問題往往和對稱、平移聯系在一起。

例1如圖1，在燃氣管道L旁有兩個鎮A和B，要在管道上修一個泵站往兩個鎮供氣，問泵站修在哪里可使所用的輸氣管線最短？

解：如圖2，作A關于直線L的對稱點A′，連接BA′與直線L交于點C，點C為所求泵站位置。

例2如圖3，一長方體盒子，長寬高分別為a、b、c，一只螞蟻在頂點A處，要爬到頂點G處，它爬行的最短距離為多少？

解：如圖4，把長方體展開，后面的面和底下的面不畫。螞蟻爬行的最短距離為線段AG的長，利用勾股定理可求得解。

注：對于求其他可以展開的立體圖形（如棱柱、圓柱、圓錐）上的最短距離，方法和這個基本相同。

二、連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段

最短

例3如圖5，小明和媽媽在矩形花園里玩，小明沿著BCDB的路線跑，媽媽站在A處，矩形花園的長寬分別為40米和30米。問小明離媽媽的最短距離是多少？

解：過A作BD的垂線段AE，即為最短距離。

∴小明離媽媽的最短距離是24米。

三、二次三項式求最值

二次三項式求最值的方法就是把二次三項式配方，化成一個完全平方式與一個常數和的形式，利用完全平方的非負性來求最值。如：2x2+4x-3=2(x2+2x-)=2(x+1)2-5≥0-5=-5，所以該二次三項式有最小值-5。而-2x2+4x-3=-2(x+1)2-1≤0-1=-1，所以該二次三項式有最大值-1。

四、利用根的判別式求最值

例4如圖6，⊙O的直徑AB=2，AD、CD、BC是⊙O的切線，若AD=x,BC=y，求四邊形ABCD的最小面積。

解：設四邊形ABCD的面積為S，如圖6，過D作DE⊥BC于點E。由切線和切線長定理可知：四邊形ABCD是矩形，EC=y-x，CD=x+y，而DE=2，

∴22+(y-x)2=(x+y)2，

化簡得y=。

∴SABCD(AB+BC)×AB

這個方程有實數解，所以△=b2－4ac≥0，

即S2－4≥0，S2≥4，∴S≥2。

∴四邊形ABCD的最小面積為2。

五、利用函數求最值

利用函數求最值時，一般是先根據題意建立一個函數模型，再確定出自變量的取值范圍，根據函數的增減性來求最值。

1. 用反比例函數求最值

例5一個工人一天能編3至5個籮筐，某工廠每天要生產這種籮筐150個，問該工廠應該聘請多少名工人？

解：設應聘請y名工人，每名工人每天生產x個籮筐，則當x=3時，y=50；當x=5時，y=30。

所以，至少聘請30人，最多聘請50人。

2. 用一次函數求最值

例62008年地震后，甲地需飲用水240噸，乙地需飲用水260噸，現在A廠有瓶裝飲用水200噸，B廠有瓶裝飲用水300噸，要把這些飲用水全部贈送給甲乙兩地。從A廠往甲、乙兩地運飲用水的費用分別為每噸20元和25元；從B廠往甲、乙兩地運飲用水的運費分別為每噸15元和24元，怎樣調送可使總運費最少？

解：設總運費為y元，A廠運往甲地的水為x噸，則運往乙地的水為（200-x）噸；B廠運往甲乙兩地的水分別為（240-x）噸和[300-（240-x）]=（60+x）噸，則y=20x+25（200-x）+15（240-x）+24（60+x），即：y=4x+10 040。

這里A廠運往乙地的水200-x≥0，x≤200 即0≤x≤200。

函數y=4x+10 040的值隨自變量的增大而增大，當x=0時，y有最小值10 040。所以，從A廠運往甲地0噸，運往乙地200噸；從B廠運往甲地240噸，運往乙地60噸時總運費最少，總運費最小值是10 040元．

（西藏拉薩市第八中學）