全概率公式教學瑣談

劉小紅

摘要： 全概率公式是概率論中一個重要的公式，在實際中有廣泛的應用，對學生來說是一個難點。本文結合教學實際，探討全概率公式的教學。

關鍵詞： 全概率公式解題思路應用

全概率及貝葉斯公式是《概率論與數理統計》課程中的兩個重要的公式，由于全概率公式和貝葉斯公式本身是用來解決實際問題的，因而應用背景十分重要，如果對公式的應用背景不理解，則很難靈活運用。現就如何透徹地講解公式和靈活應用全概率公式，談談我在教學中的體會。

全概率公式是概率的加法公式和乘法公式的綜合，在進行這個知識點的教學時，如果按照課本上的順序，直接給出公式，證明公式，然后套用公式來進行應用，這樣就會導致學生感到公式不易理解，記憶困難，應用時就更感覺無從下手。鑒于此，我在教學中從實例入手，引導并幫助學生完成由已知的加法公式和乘法公式到建立全概率公式的思維過程，這樣不僅可以激發學生的思維，而且能加深學生對全概率公式的理解和記憶。

引例：某電子設備制造廠所用的元件是由三家元件制造廠提供的，根據以往的記錄有以下的數據：第1、2、3三家工廠提供元件的份額分別是0.15、0.80、0.05，它們的次品率分別是0.02、0.01、0.03，設這三家工廠的產品在倉庫中是均勻混合的，且無區別的標志，在倉庫中隨機地取一只元件，求它是次品的概率。

解：設Ａ表示“取到的是一只次品”，Ｂ（i=1，2，3）表示“所取到的產品是由第i家工廠提供的”，由于導致Ａ發生的原因B，B，B不能唯一確定，因此求P（A）用條件概率難以解決。由題意，Ａ能且只能與B，B，B之一同時發生，即AB、AB、AB互不相容，這樣Ａ可表示為AB、AB、AB三事件之和，再利用加法公式，通過求P（AB）、P（AB）、P（AB）來求P（A）。由于B+B+B=Ω（必然事件），則有A=AΩ=A（B+B+B）=AB+AB+AB。

∴P（A）=P（AB+AB+AB）P（AB）+P（AB）+P（AB）

這樣，可把求P（A）經過轉化，分解為簡單事件的概率和，又由已知條件，P（AB）不能直接求出，但易知P（B）=0.15，P（B）=0.80，P（B）=0.05，P（A|B）=0.02，P（A|B）=0.01，P（A|B）=0.03，這樣利用乘法公式即可求出P（AB），從而求得P（A）。

P（A）=P（AB）+P（AB）+P（AB）=P（B）P（A|B）+P（B） P（A|B）+P（B）P（A|B）=0.15×0.02+0.8×0.01+0.05×0.03=0.0125

求P（A）事實上運用的就是全概率公式。由于次品的概率P（A）直接求不出來，按照題意把Ａ分成三部分，A的發生受這三部分的影響且這三部分是互不相容的。把這三部分的概率分別求出，最后加起來，就得到Ａ的全部概率。

全概率公式：設試驗Ｅ的樣本空間為Ｓ，B，B，…，B為E的一組事件，若滿足

（1）BB=?覫，（i≠j，i，j=1，2，…，n）

（2）B∪B∪…∪B=S且P（B）＞0（i=1，2，…，n）。則對任一事件A有

P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+…+P（B）P（A|B）。

在全概率公式中，通常把滿足條件（1）（2）的事件組B，B，…，B稱為完備事件組，運用全概率公式的關鍵在于找出這個完備事件組。完備事件組B，B，…，B可以看成是引起事件Ａ發生的一系列原因或Ａ的發生要受因素B，B，…，B的影響，一個事件Ａ往往可能在若干個不同原因B，B，…，B下發生，因而可將Ａ分解成若干個互不相容的事件，只要知道了各種原因B，B，…，B發生的概率以及各種原因B，B，…，B發生的條件下Ａ發生的概率，利用全概率公式就可求得事件Ａ發生的概率。

全概率公式是使復雜問題簡單化的很有價值的一個實際應用公式。當一個事件的發生是由幾個不相關過程導致的時候，運用全概率公式則可簡化思考過程，起到化整為零，化難為易的作用，下面舉例說明。

例１：某射擊小組共有20名射手，其中一級射手4人，二級射手8人，三級射手8人；一、二、三級射手能通過選拔進入比賽的概率分別為0.9、0.7、0.4。求任選一名射手能通過選拔進入比賽的概率。

解：問題實質上涉及兩個部分：第一，選出的射手不知道是哪個級別的，由全概率公式知，都應該考慮到才全面。第二，某個級別的射手能通過選拔進入比賽的概率是已知道的，記A表示“選出的是i級射手”，i=1，2，3，記B表示“選出的射手能通過選拔進入比賽”則A，A，A構成一個完備事件組，有：

A∪A∪A=S且AA=?覫，i≠j，i，j=1，2，3

由題意：P（A）=4/20，P（A）=8/20，P（A）=8/20，因此

P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）=4/20×0.9+8/20×0.7+8/20×0.4=0.62

這個數比0.9、0.7都小，但比0.4大，就是因為三種可能性都考慮到了。

例2：某工廠生產的產品以100個為一批。在進行抽樣檢查時，只從每批中抽取10個來檢查，如果發現其中有次品，則認為這批產品是不合格的。假定每一批產品中的次品最多不超過4個，并且其中恰好有i（i=0，1，2，3，4）個次品的概率如下：

求各批產品通過檢查的概率。

解：設事件B是一批產品中有i個次品（i=0，1，2，3，4），則

P（B）=0.1，P（B）=0.2，P（B）=0.4，P（B）=0.2，P（B）=0.1

顯然有B=S且BB=?覫（i≠j，i，j=0，1，2，3，4），故B，B，B，B，B構成一個完備事件組。設事件A是這批產品通過檢查，即抽樣檢查的10個產品都是合格品，則有

P（A|B）=1，P（A|B）==0.900，P（A|B）=≈0.809，

P（A|B）=≈0.727，P（A|B）=≈0.652

所以，由全概率公式，即得所求的概率：

P（A）=P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）+P（B）P（A|B）≈0.1×1+0.2×0.900+0.4×0.809+0.2×0.727+0.1×0.652≈0.8142

對于一個復雜的事件Ａ，如果能找到一影響著Ａ發生的完備事件組B，B，…，B，而計算各B（i=1，2，…，n）的概率P（B）與條件概率P（A|B）又較容易，這時為了計算Ａ的概率，就可以考慮使用全概率公式。

參考文獻：

［1］盛驟，謝式千，潘承毅.概率論與數理統計.高等教育出版社，2008.

［2］繆銓生.概率與數理統計.華東師范大學出版社，2000.

［3］沈恒范.概率論與數理統計教程.高等教育出版社，2003.