動態幾何中的二次函數

楊永金

近年，中考試題中常有動態幾何問題，它包括點動、線動、圖形動三種類型。二次函數是初中解決極值問題的基本方法。二者結合，增添了動態幾何的趣味和解決方法，提高了學生思維深度和廣度。現舉三個例子進行分析。

一、單一動點與二次函數

例lA、B、C三點在平面直角坐標系中，其中A點在X軸負半軸上，B點在X軸負半軸上，且AB=10（OA

（1）求線段OA、OB的長和經過點A、B、C的三點拋物線的解析式。

（2）點D的坐標為（4，0），點E（m，n）是該拋物線上的一個動點（且m>0，n>0，連接DE交BC于點F。

①當△BDF為等腰三角形時，寫出F點的坐標。

②連結CD、CE，△CDE是否有最大面積？如有，求出△CDE的最大面積和此時點E的坐標；如沒有，說明理由。

分析：（1）根據直角三角形相似對應線段成比例求出OA、OB的長，再通過ABC三點確定拋物線的解析式。（2）△BDE為等腰三角形，可分三種情況分析：BD=DE、DE=BE、BD=BE。結合等腰三角形三線合一來解決。求△BDE的最大面積，與二次函數的最值聯系起來。

二、兩個動點與二次函數

例2在平面直角坐標系中，已知矩形ABCD的四個個頂點A（8，8）B（8，O）、C16，0）、D（16，16）。拋物線過A、C兩點。

（1）求出過A、C兩點拋物線的解析式。

（2）動點P從點A出發，沿線段AB向點B運動，同時動點Q從點C出發，沿線段CD向終點D運動，速度均為每秒2個單位長度，運動時間為t秒，過點P作PE垂直于AB交AC于點E。

①過點E作EF垂直于AD于點F，交拋物線于點G。當t為何值時，線段EG最長？

②連接EQ，在點P、Q運動的過程中，判斷當T為何值時使得△CEG是等腰二角形？請直接寫出相應的t值。

分析：隨著點P、Q的運動，EF與拋物線的交點G始終在點E的上方，故EG的長等于YE-YE，所以可以建立二次函數來求最值。對于△CEG等腰三角形，根據P、Q兩點的運動分三種情況討論即可。

三、單一動點的圖形變化

例3在平行四邊形ABCD中∠B＝60°，M是BC上不與B點重合的點，AB＝8，AD＝6，過M作垂直于AB于點Q，交DC的延長線于點N，設BM=X，△MDQ的面積為Y，求與之間的函數關系式。

分析：要求面積只需取某條線段為底，再找一條高，它們要么是常量要么是關于自變量的代數式，因此，以EF為底DG為高，求解。

（1）設t=x，用含x的代數式表示BM和MQ。

（2）如Q點在BD上移動。

（3）Q運動時能否與M、D夠成直角三角形，如能，求出

其值。

分析：（1）中求線段之間的關系可用比例線段求得。（2）中求三角形的面積只需找底與高即可。底與高可能為常量，也可能為含x的代數式。DQ為底，PC為高。（3）可假設能夠成直角三角形，把各線段的長求出來，再用勾股定理求解。

通過以上例子，我們可以看到動態問題對學生的綜合能力要求較高，解題方法靈活多變，其中所含的數學思想和方法豐富，有數型結合思想、方程思想、函數思想、分類討論思想、數學建模等思想方法。這樣，既考查了學生利用動靜結合、圖形變換的規律分析、解決問題的能力，又考查了學生觀察、猜想、歸納、驗證、推理等思維能力。因此，我們應要求學生要會將問題各個時刻的圖形分類畫圖，由“動”變“靜”，還要善于抓住在運動過程中某一特殊位置的等量關系和變量關系。

（安龍縣篤山中學）