國小教師的估算知識與教學觀點之研究

曹雅玲　潘亭蓉

【摘要】本研究之主要目的在于探討小學教師的估算知識與估算教學。研究對象為臺北地區小學五年級擔任數學科教學教師，選取具數理背景及非數理背景共六位，進行深入研究。訪談六位參與研究教師本身的估算知識，了解教師的估算知識與估算教學。

【關鍵詞】估算；估算知識；估算策略；估算教學；小學教師

一、研究目的

縱觀國內外的數學課程標準，已有越來越多的國家重視估算教學，并強調其重要性。美國數學教師協會（NCTM,2000）出版《學校數學課程與評量標準》當中的“數與計算”，建議學生要能熟練地計算，并能做合理的估計；除了繼續強調估算的重要性外，并建議加強估算的教學。估算在過去數學教學中，是較被忽略的課題，在聯考制度引導教學的情況下，為了獲得較高的數學成績，向來都強調筆算的技能、速度和唯一的答案，總是重視算則的機械式演練與計算技能的熟練，而缺乏思考、邏輯推理的培養（楊德清，2000）。但隨著教育不斷地改革，目前課程標準也越來越重視估算這部分領域，認為估算學習對于學生的數感以及數學思維有相當程度的幫助。一般來說，數字感較好的學生，通常都能夠使用估算的技巧來協助計算、驗算與解題。而經由估算課題的教學，也更能促使學生對數學概念、程序計算、解題三者間的聯結，有更深入的理解（教育部，2003）。可見各國數學教育界已逐漸重視估算能力的培養，估算教學亦成為改革的重要方向之一。

綜上所述，可以清楚了解到估算的應用在日常生活當中占有重要的角色，因此掌握這些基本能力是相當重要的，目前估算教學已受到許多先進國家的重視，并強調其重要性，而臺灣數學課程雖已包含了估算的內涵，但是要如何將學校教學中所含的估算概念融入生活當中與其作統整聯結，值得進一步地探討。因此，估算的概念并不像我們所謂的分數、小數一樣明確，對于教師能否在教學中融入估算的應用去進行教學，這是值得探討的部分。

二、文獻探討

估算意義與重要性

許多學者提出估算是綜合多種能力、技巧與數概念的運算，并結合心算快速地計算出合理性的答案。林彩鳳（1995）也提出估算不是形式的計算，而是結合心算、數概念及一些運算技巧，如取近似值、位值概念等快速地得到與精算結果接近且合理的約略訊息答案，這個過程完全是內在運思而不假借任何外界的計算工具。估算是個人對數字及運算的一般性了解，即以彈性的方式運用所理解的數學知識進行數學判斷，并發展有用的策略以處理面對數學情境的一種能力及傾向（楊德清，1997）。

三、估算策略

研究者整理學者們研究發現之估算策略，其內容敘述如下：

首位法。取數值之首位來簡化數值，通常會視情況將各數取頭（或去尾），并做適當的調整再心算。（Reys，1982）

改良式首位法。比首位法更靈活，它是將首位和其他部分分開處理，再做結合運算，使估算值更接近正確值。（Reys，1982）

叢集策略。先觀察算式中的數值接近何數值（估計平均值或較佳數值），再加以運算。（Reys，1982）

四舍五入法。將原數值經四舍五入后，產生較易計算的值，再運算求出估算值。通常會在調整算式的過程中使用，是一個好的策略，因為調整時會高估其中一數低估另外一數。（Reys，1982）

兼容數字策略。選擇算式中的數字將原式處理成較易計算的形式。（Reys，1982、孟憲騰，1997）

利用特殊數字0，1，5，10，100，12或14等。每個人處理數字形式的習慣不同，因此會做各種數值形式間之轉換，以利運算。（Reys，1982）

使用分數。將問題中的數字看成分數的形式來處理，但不改變原問題的結構。（Reys，1982）

使用已知或較理想的數。將算式以較熟悉或以熟知結果的形式做比對，利用該熟知結果的形式為依據做估算，不必再執行煩瑣的計算。（Reys，1982）

舍入兩個數。在乘法問題中將兩數皆舍入，使答案成為十的非零乘冪。（Levine，1982）

舍入一個數。舍入問題中的其中一數，另一數不做改變，使問題更為容易估算。（Dowker，1992）

因式化。將問題中的數字做因子分解，或同時除以某個公因子，而簡化原問題的數字，以便處理。（Dowker，1992）

前位算法。利用標準算法大約地計算出估算值。例如：12×11。4≈12×11得到132，再加上12×0。4＝4。8，而得到136。8。（Reys，1982）

分配律。利用a×（b+c）＝ab+ac的分配律規則處理問題中的數字運算。（Reys，1982）

其他還有“取5為近似值”：將接近5的數值取近似值為5，接近0的數值取近似值為0，接近10的數值取近似值為10（林彩鳳，1995）；“心算法”：直接心算出答案或將心算所得之答案改為估算答案等估算策略（支毅君，1996）。

四、估算與估算教學相關研究

支毅君（1996）之研究，在估算教學上，多數教師聽過“估算”一詞，在解連加題目時，最普遍使用的是“四舍五入法”；亦有半數人會使用叢集策略，大部分的教師可以判斷答案的合理性。有五分之四的教師認為估算在日常生活中很重要，并且認為應在小學課程中加上估算課程。估算教學能幫助學生學習數的概念以及過程的了解，也就是在過程中不僅能學到估算技巧還能有助于位值、數值大小、數的事實概念以及各種運算意義的學習，更能去察覺答案之合理性。孟憲騰（1997）認為估算教學知識是指結合估算知識與教學知識，職前教師在進行估算教學時能將估算的知識（例如：估算的策略、估算合理性的問題……）與教學知識結合而成的估算教學知識。在美國數學教師協會(NCTM，1991）提出學童可以借由使用筆算、心算、估算及電算器等不同的方法來促進數感發展。在教學過程中，鼓勵學童與同儕分享心算、估算的策略，可以促進學童了解數字的基本關系與運算法則，且在某些情境下想要了解一些概念，心算、估算比精算更有效。估算的進步必須借由持續的練習，如同一些數學技巧必須經由練習方能有所進步。若將估算集中于某單元進行教學，易使估算限于運算系統的一部分，且學生見到估算題時會采取生硬的策略運算（Sowder，1984）。另外教師在估算的教學過程中扮有重要的角色，因此教師必需激發學生學習估算的動機意愿，安排適當的課程內容。

五、研究方法

研究設計與對象

本研究之主要目的在探討小學教師的估算知識與估算教學。研究對象為臺北地區小學五年級擔任數學科教學的教師，選取具數理背景及非數理背景共六位，進行深入研究。訪談六位參與研究教師本身的估算知識，了解教師的估算知識與估算教學。研究者設計“教師估算知識訪談”題目，內容涵蓋估算的內涵、估算教學、估算解題等。文中凡提及之人名，皆以代號稱之，表1為參與研究教師之背景資料表。