讓兒童“創造”屬于自己的知識

教學時間：2007年10月

教學地點：東南大學禮堂

教學年級：五年級

【教學目標】

1．在二年級“第幾排第幾個”的基礎上，自主建構“用數對確定位置”的方法，體會它的準確性、簡潔性。

2．感受數學發現的樂趣，體驗數學創造的價值。

【教學過程】

一、談話引入

師：初次見面，能告訴我，哪個班的？

生：五（2）班。

師：噢，是五年級的二班，對嗎？

生：對！

師：那為什么不老老實實告訴我，是五年級二班，而非要說“五（2）”班？

生：這樣比較簡潔。

生：說五（2）班，別人一聽，也就知道是五年級二班了。

師：既然這樣，那我覺得還可以更簡潔一些呢。別人要問我，哪班的——二班！

生：不行！不行！

師：怎么啦，不是更簡潔了嗎？

生：光說二班，別人怎么知道是哪個年級的二班呢，這樣不準確。

師：那行，要別人問我，哪班的——五！這回總算行了吧。

生：還是不行！這樣說，雖然別人知道你是五年級，可到底是五年級哪個班，別人還是不清楚。

生：而且，你光說五，別人還不知道這究竟是五年級呢，還是五班，所以還是不行！

師：看來，生活中，我們不能為了簡潔而簡潔，簡潔的同時，還得注意什么？

生：準確！

師：說得好！（板書：簡潔、準確）

二、嘗試探索

師：其實，數學上也一樣。比如，二年級時我們已經研究過用“第幾排第幾個”來確定位置，還記得嗎？

生：記得！

師：下面的照片中，哪一個才是張老師的兒子呢？大膽猜一猜，并用二年級學過的方法確定他的位置。

生：我猜是第3組第2個。

師：嗯，你是豎著看的。第3組——第2個——小伙長得挺帥哦！（生笑）有不一樣的猜測嗎？

生：我覺得可能是第5組第1個。

師：你也是豎著看的，覺得是他，對吧。一看就很聰明！（生笑）

生：我覺得是第3行的第2個。

師：你是橫著看的。第3行——第2個——還有不一樣的嗎？

生：我覺得還可能是第4組第5個。

師：這樣看來，光靠猜，要一下子確定張老師兒子的位置，感覺怎么樣？

生：有點困難。

師：那就給點提醒吧，看看會不會好一些。他呀，在第4組——（師板書：第4組）

生：我知道了，是第4組第3個。

生：不一定，還可能是第4組第5個。

生：第4組有兩個男生，光說第4組還是沒法確定，還得看看在第幾個。（師繼續板書：第3個）

生：找到了，是他！

師：看來，二年級掌握的方法，還真能幫助我們很快確定一個人的位置。不過，換個角度看看，除了第4組第3個以外，還可以怎么確定他的位置？

生：第3排第4個。（師板書：第3排第4個）

師：無論是第3排第4個，還是第4組第3個，能確定張老師兒子的位置嗎？

生：能！

師：既然這樣的方式已經能夠確定位置了，那我們今天還來研究什么呢？

生：我覺得是不是有比像“第3排第4個、第4組第3個”更簡潔的方法，也可以用來確定位置。

師：了不起！和數學家想一塊兒去了。那么，到底有沒有比它更簡潔的確定位置的方法？如果有，又會是什么樣的呢？下面的時間，我把這一任務留下給四人小組，看看能不能集中大家的智慧，在“第3排第4個、第4組第3個”的基礎上，創造出比它更簡潔、準確的方法。有沒有信心？

生：有！

師：別忘了，把研究出的方法，記錄在自己的作業本上。如能找到不同的方法，都可以記錄下來！

（五分鐘內，學生以小組為單位展開研究。教師巡視，并將學生中出現的典型方法記錄下來。板書）

①4排3個

②43

③4.3

④豎4橫3

⑤↑4→3

⑥3-4

⑦4，3

三、交流建構

師：這是從同學們中收集到的部分方法。看看每一種，似乎都挺簡潔。到底該選哪一種呢，還是請大家來作評判吧。

生：我覺得第二種方法不好，很容易混淆。不知道的人，還以為是43這個數呢。

師：嗯，頗有同感。看來，光簡潔是不夠的，還得注意準確，不能引起別人的誤會。

生：我覺得第三種方法也不行，它很像一個小數，也容易引起誤會。

生：我覺得第一種方法也不太好，就省了兩個字，其他沒什么區別。

師：那會不會引起誤會？

生：誤會倒不會，但弄了半天就少了兩個字，等于沒弄。（生笑）

師：看來，準確倒是有了，可惜又不夠簡潔。至少在大家看來，簡潔得還不夠，對吧？不過，聽了半天，老師聽到的似乎都是批評的聲音。難道，剛才被批評的方法，一點值得肯定的地方都沒有嗎？

生：不對，它們好歹都比原來要簡潔一些。

師：這就是一種進步！不過，除了簡潔，難道就沒有別的什么共同的地方？

生：哦，它們都有4和3這兩個數！

師：多善于觀察！那剩下的幾種方法里呢？

生：也都有這兩個數。

師：既然每一個小組都不約而同地保留了這兩個數，說明——

生：這兩個數一定很重要。

生：缺一不可！

師：說得好！那這里的4和3究竟各表示什么意思呢？為了便于大家觀察和思考，我們可以把這里的每個人都簡化成一個圈。（出示右圖）

生：這里的4應該表示第4豎排。

師：數學上，我們把豎排叫做列。通常，確定列都是從左往右。現在你知道，這里的4表示張老師兒子在——

生：第4列。

師：那3呢？

生：3表示第3橫排。

生：3表示第3行。

師：沒錯！數學上，橫排就叫行。猜猜看，哪兒是第一行？

生：最下面的是第1行。

師：是的。確定行，通常都是從前往后、從下往上。現在，確定了第4列，又確定了第3行，能最終確定他的位置嗎？

生：能。

(教師利用課件，用兩條直線表示相應的行和列，并相交于一點，以確定相應的位置。如右圖）

師：試想，如果只給你第4列，行嗎？

生：不行。因為只給第4列，它上面有好幾個人，不知是哪個。

師：只給第3行行嗎？

生：還是不行，第3行上也有好幾個人，同樣無法確定。

師：看來，行數和列數缺一不可。少了誰，都無法確定他的位置。既然如此，我覺得剩下的幾種方法似乎都不錯呀。哪種更好呢？

生：我覺得第4種肯定不行，既有數字又有漢字，看起來就不簡潔。

師：可是，他們小組明知加上漢字不夠簡潔，為什么還要添上這兩個字呢？

生：我知道！如果不添上這兩個字，那就不知道這里的4和3哪個是行，哪個是列了。

生：如果這樣，那我覺得第6和第7種也都不行。雖然他們都保留了4和3，并且也很簡潔，但是，由于它沒有說清楚哪個是行，哪個是列，所以很容易讓人混淆。（該生的觀點得到了全班多數同學的支持）所以，我覺得還是第5種方法比較好。豎著的箭頭表示列，橫著的箭頭表示行。連在一起就是第4列第3行，而且也很簡潔。（不少同學頻頻點頭）

師：那這樣，同意這位同學觀點的請舉手。（絕大多數舉手表示贊成）這么多同學都贊成啊？那你們不是成心要為難老師嘛！

生：為什么？

師：因為數學家們最終采納的方法，已經被你們給否定掉了！

生：啊？！

師：猜猜看，他們最終采納的可能是其中的哪種方法？

生：不會是最后一種吧？！

師：真被你給猜中了。那現在，你們覺得這種方法怎么樣？

生：我還是覺得不行，你不說清楚哪個表示列，哪個表示行，別人還是要混淆的。

師：這么說，連數學家們的觀點你們也敢反駁？

生：當然了，因為他們的觀點是錯的！（生笑）

師：那你們說該怎么辦？數學家就是這么定的，你們又不同意。別的方法，你們覺得又不行。

生：我覺得就可以用第5種，既簡潔又準確。

生：用第7種也行，但必須得加個規定。

師：什么規定？

生：得規定哪個數是行數，哪個數是列數，以后遇到這樣的情況，都按照這樣的規定。

師：真是太棒了。你絕對和數學家們心有靈犀一點通！告訴大家，其實數學家們選擇第7種方法時，也發現了它的漏洞。怎么辦呢？后來一討論，干脆一不做、二不休，給它來個規定：以后凡是像這樣用行數和列數來確定一個點的位置，我們通常都將列數寫前面，行數寫后面。現在，還會引起誤會嗎？

生：不會了。

師：按照這樣的規定，哪個數寫前面？

生：4。

師：后面呢？

生：可以寫上3。

師：中間還得加個逗號隔開。后來，為了進一步作出區分，他們干脆又在列數和行數外面加上了一個小括號。（教師邊介紹邊板書）像這樣，用列數和行數所組成的一個數對來確定位置，就是我們今天所要研究的內容。（板書課題：用數對確定位置）

師：回憶剛才的學習過程，有什么收獲？

生：我知道了如何用數對來確定位置。

生：我發現，用數對確定位置時，通常都是把列數放前面，把行數放后面。

師：說得挺好，想不想試試？

生：想！

(出示如下畫面)

師：小鄧和小白是張老師兒子最要好的朋友，你能用數對表示他們的位置嗎？

生：小鄧的位置用數對表示是（2，1）。

師：為什么？

生：因為小鄧在第2列、第1行，所以用數對表示是（2，1）。

生：小白的位置用數對表示是（3，4），因為她在第3列第4行。

師：真不錯。兒子還有一個要好的朋友叫小路，他的位置如果也用數對表示的話，應該是（5，3）。你知道他在哪兒嗎？

生：他在第5列第3行。

師：你是怎么找到的？

生：因為數對前一個數表示列數，后一個數表示行數。

師：掌握得確實不錯。瞧，今天，咱們的座位也排得整整齊齊的，如果讓你用數對來表示你自己的位置，行嗎？

生：行！我的位置用數對表示是（5，2）。

師：第5列、第2行，她說得對嗎？

生：對！

生：我的位置用數對表示是（4，5）。

師：嗯，第4列第5行。

生：我的位置用數對表示是（1，1）。

……

師：看來，自我介紹并不難。能用這樣的方式介紹一下你最好的朋友嗎？

生：我最好的朋友，她的數對是（4，2）。

師：讓我也來認識一下你的朋友，第2列、第4個。認識你很高興！

生：不對，弄錯了，我說的是（4，2），不是（2，4）。

師：（4，2），（2，4），不都是這兩個數嗎，怎么就不對了呢？

生：前面的表示列數，后面的表示行數，所以誰在前誰在后很重要。交換位置后，相應的點就不同了。

師：看來，以后用數對確定位置時，這一點一定要弄清楚。（師重新找到（4，2）處）真正的朋友原來是你啊！

生：我的朋友是（7，1）。

師：有誰愿意幫我找找她的朋友。

生：她在第7列第1行。

師：是你嗎？（是。）認識你很高興！

四、練習鞏固

師：下面，我想再提高要求，我直接報數對，請符合要求的同學迅速起立，看誰的反應最快。（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。

(相應的五名學生一一起立)

師：奇怪，怎么就齊刷刷地站起來一隊？

生：因為你報的數對有規律。

師：是嗎，說來聽聽？

生：這五個數對列數都是3，說明他們都在第3列，當然就站起來一隊了。

師：說起來挺容易，如果也讓你來出幾個數對，你有本事也讓一隊同學站起來嗎？（能！）誰來試試？

生：（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）。

師：不錯！不過，有點依葫蘆畫瓢的嫌疑。有沒有誰能說出點不一樣的？

生：（1，3）（2，3）（3，3）（4，3）（5，3）。

師：發現了什么？

生：這回站起來的是一行。

師：有變化了。能說說為什么嗎？

生：這回的五個數對雖然列數變了，但行數沒變，所以站起來的自然就在同一行了。

師：真不錯！不過，張老師覺得這還不算什么。說五個數對，站起來一排。要是我說，我只給一個數對，就可以請一隊同學站起來，你們信嗎？

生：不信！

生：不可能！

師：口說無憑，要不試試？（屏幕顯示數對：（4，x））符合要求的同學請站起來。

(第4列同學陸陸續續站起來，教師面對第一名學生)

師：奇怪，我上面寫（4，1）了沒？

生：沒有。

師：那你站起來干嘛，還不坐下去？（生笑）

生：不對，（4，x）中的x是一個未知數，既可以表示1，也可以表示2，3，4等，所以我們都站起來了。

師：是這樣嗎？

生：是！

師：瞧老師厲害吧，一個數對，就讓一排同學站起來。

生：不厲害。我也會！

師：是嗎？誰來試試。

生：（x，4）。

師：換了個個兒，真能站起一隊嗎？來，符合條件的站起來。（第4行同學很快便站了起來）還真不賴啊！

生：老師，我還可讓全班同學都站起來。

師：是嗎？！越來越厲害了。試試？

生：（x，x）。

師：來，符合要求的請起立（全班同學都站了起來）。嗯，讓我來看看，當x等于1時，該誰站起來？（數對為（1，1）的同學舉手示意了一下），不錯！當x等于2呢？

數對為（2，2）的同學也示意了一下，此時，有部分同學開始猶豫，也有同學重新坐了下來。

師：奇怪，有人開始坐下去了。采訪一下，你為什么又不站了？

生：一開始我覺得（x，x）應該包含所有人，但現在看來，我不算。

師：不是說字母可以表示任何數嗎，你怎么就不算了呢？

生：字母是可以表示任何數，但我發現，當x等于1時，只有（1，1）可以站，同樣，當x等于2、3、4時，只有（2，2）（3，3）（4，4）等可以站，所以其他人都不能站。

師：說得有沒有道理啊？

生：有！

生：我還有補充。雖然字母可以表示任何數，但兩個相同的字母只能表示兩個相同的數，這樣的話，就不是所有人都能站起來了。

(此時，剩下的同學陸陸續續都坐了下去，只有符合要求的6位同學站著)

生：我知道了，可以用（x，y）。

師：這一回，符合要求的請站起來。（全班學生都站了起來）其實，有錯誤并不重要，重要的是要從錯誤中吸取教訓，并對問題獲得更深入的認識！

五、拓展延伸

（略）

（張齊華，南京市北京東路小學，210008）