針對高等數學概念理論教學的探討

郝 琳 朱亞紅 趙志輝

【摘要】針對高等數學基本概念、基本理論的教學，從揭示本原意義、問題驅動、歸納比較、借助軟件以及介紹數學史五個方面展開探討.

【關鍵詞】基本概念;基本理論;問題驅動;歸納比較;玀atlab;數學史

高等數學課程是一個復雜的演繹邏輯系統，演繹邏輯的出發點就是基本概念；以基本概念為基礎，運用正確的邏輯演繹方法得到的一系列理論成果就是基本理論；在邏輯演繹發展的過程中產生了一些基本方法，主要有證明、運算和應用.加強基本概念、基本理論的教學是高等數學教學中的永恒主題.筆者結合多年的高等數學教學體會，針對高等數學的概念理論教學展開以下幾點探討.

1.揭示基本概念、基本理論的本原意義

我們看到的高等數學的概念和理論，往往具有高度的抽象性,呈現出冰冷美麗的一面.但是在每一種數學概念和理論的背后，都蘊含著許多豐富多彩的數學科學的源泉，燃燒著數學家們火熱的思考.作為教師，一個重要的任務就是幫助學生發現隱藏在“冰冷美麗”后面的“火熱思考”，努力揭示基本概念、基本理論的本原意義.

例如，微積分的創立是為了處理17世紀四種類型的科學問題：（1）物體在任意時刻的速度和加速度.（2）曲線的切線——光學在17世紀得到了飛速發展，設計透鏡時要研究光線通過透鏡的通道，必須知道光線射入透鏡的角度，而這與曲線的法線或者說切線有著密切的關系.（3）函數的最值——隨著軍事的發展，研究炮彈能獲得最大射程的發射角成為迫切需要解決的問題；同時天文學中行星離開太陽的最遠和最近的距離也是17世紀很受關注的問題.（4）曲線的長度——行星在已知時期內移動的距離則需要計算曲線的長度.有了這些本原意義，再學習微積分的相關概念會自然很多，也不會再有“帽子里蹦出的兔子”的感覺了.

2.以問題驅動的形式組織教學

著名的數學家康托曾經說過：“在數學的領域中，提出問題的藝術比解答問題的藝術更為重要.”把數學被發現時的本真問題加以提煉、加工，呈現給學生，以問題驅動的形式組織教學.這樣可以吸引學生主動思考，加深對概念的理解.例如講授“方向導數與梯度”時，以高山流水為背景，設計了如下問題：

①如何刻畫函數沿任一方向的變化率？——引出方向導數的概念.

②偏導數存在可以得到哪些方向的方向導數存在？——理清方向導數與偏導數的關系.

③在什么條件下任一方向的方向導數存在？——引出方向導數的計算公式.

④可微是方向導數存在的充分條件，是否必要條件？——理清可微與方向導數存在的關系.

⑤如何尋找方向導數最大的方向？——引出梯度的概念.

通過以上設計，層層設問，將活潑的數學思想從形式的海洋中提煉出來，從而激發學生強烈的求知欲，加深對概念的理解.

3.作好相似、相近或相關概念的歸納比較

歸納比較可以啟發學生發現不同對象的相似性質，明確區別與聯系，更好地掌握和運用知識.在教學中注意展示它們之間的內在聯系和相互區別.

例如，微積分以函數作為研究對象，而研究的主要方法是分析增量Δ玿和Δ珁的關系，可以說，增量分析是微積分的核心內容.以增量分析為線索，可以串聯微積分中的諸多基本概念和定理.連續是自變量增量趨于0時因變量增量的極限；導數是因變量增量與自變量增量之比的極限；微分中值定理給出了自變量增量和因變量增量之間的關系；┡！萊公式則利用函數增量給出了積分的計算表達式.再例如，多元函數和一元函數相關概念的比較，等等.

做好歸納比較可以讓學生從比較中學習，從比較中加深理解，從而從整體上把握所學到的諸多概念.

4.利用玀atlab軟件，展示數學的基本概念和基本理論

利用玀atlab軟件，展示數學的基本概念和基本理論，使抽象的知識變得簡單易懂、直觀生動.例如重要極限┆﹍im玿→0玸in玿[]x=1，首先利用玀atlab軟件作出函數y=玸in玿[]x的圖像（如圖1所示），可以看出當自變量x趨于0時，函數與1無限接近，進而猜測﹍im玿→0玸in玿[]x=1，為嚴格的證明提供了方向.

5.在教學中適當介紹數學家、數學史

在教學中可以介紹有關數學概念和符號發展歷程的數學史知識.例如積分符號，符號大師萊布尼茨于1675年以“omn”表示積分，而omn為omnia（意即所有、全部）之縮寫，但是這個符號不夠精練，其后他又改寫為拉長的字母“s”——∫，是sum（和）的首位字母，這個符號一直沿用至今.通過這樣的講解，不僅可以加深學生對積分概念的理解，而且對積分的感覺也親切了很多.

教學中同時還可以介紹數學家的名言、珍聞軼事.數學定理大都以數學家來命名，講授數學知識的同時，介紹數學家的名言、珍聞軼事，可以拉近學生與數學的距離，以比較放松的心態對待數學學習，同時學到一些課本上學不到的知識.例如，自學成才的英國數學家格林的故事，以及在艱苦的環境下仍然堅持科學研究的挪威數學家阿貝爾的故事都對培養學生良好的心理素質和堅強的意志力很有幫助.

學生是學習的主體，如何激發他們學習的積極性與潛能，是一個老師的主要任務.如果能使學生被數學所吸引，那么他（她）一定是一位出色的數學老師.這應該是所有數學老師所努力達到的目標.

【參考文獻】オ

［1］同濟大學數學系.高等數學（第六版）［M］.北京：高等教育出版社，2007.

［2］張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅動的數學教學［J］.高等數學研究，2004（5）：8-10.