數學分析概念教學初探

招燕燕

【摘要】數學分析是信息與計算科學專業最重要的主干基礎課程之一，為了提高數學分析的教學質量，概念的學習是關鍵.所以對數學分析中的概念的教法做初步的探討，提出要重視概念的歷史和引入、概念的描述、概念之間的聯系、概念的正反舉例和習題演練以及概念的教學方法的多樣性，用以提高學生學習概念的興趣，讓學生學會精確的數學語言，培養學生的觀察、抽象概括、邏輯表達、類比分析、邏輯推理、自學等能力.

【關鍵詞】數學分析；概念；教學

在我們信息與計算科學專業的數學教育課程中，數學分析是最重要的主干基礎課程之一.它不僅是信息專業學生進校后首先面臨的一門重要課程，而且大學本科乃至研究生階段很多后繼課程在本質上都可視為它的延伸、深化或應用，它的基本概念、思想和方法更可以說是無處不在，在培養具有良好數學素養和創新能力的數學及應用人才方面起著其他課程無可替代的作用，因此，提高數學分析教學質量具有非常重要的意義.

如何提高數學分析教學質量呢?概念的學習是數學學習中最基本的內容.概念既是數學分析的實體，又是數學思維的工具，一切判斷、推理、證明都離不開概念.正確理解數學分析的概念是掌握數學分析基礎知識的前提，概念不清就容易陷入迷茫，產生錯誤.因此，采用行之有效的概念教學方法，對提高教學質量至關重要.

本文就數學分析概念的教學談一點看法.

1.重視概念的歷史和引入：提高學生學習概念的興趣，培養學生的觀察能力和抽象概括能力

概念教學往往不如定理、公式等那樣生動，處理不好，會顯得呆板、生硬，不容易引起學生的興趣.例如數列極限的定義，若直接給出數學語言描述——對于任意給定的正數ε,總存在正整數N,使得當n>N時，|a璶-a|<ε都成立,就稱常數a是數列{a璶}的極限.這樣學生們會不知所以然，只能死記硬背.但如果通過一個具體的實際問題（如割圓法求圓的面積：用圓的內接正多邊形的面積近似代替圓的面積.邊數越多，多邊形的面積也就越接近圓的面積，近似值也就越接近準確值.但怎樣才能無限接近，怎樣才能達到準確值呢?提出問題，誘導學生逐一觀察，分析思索，然后從比較接近——很接近——越來越接近——要多么接近就有多么接近(無限趨近)，引導學生逐步地深入，從粗略描述到比較細致地刻畫，直到對其本質屬性進行科學的、完整的抽象概括與精確描述)，從中抽象出極限的定義，就很容易激發學生的興趣，被學生接受.

2.重視概念的描述：學習描述概念的精確的數學語言，培養學生的邏輯表達能力

數學的本質在于用簡單、精確的語言描述紛繁復雜的客觀世界.學習數學，就要學習數學的語言.數學語言的抽象性、精確性、邏輯性直接表現在概念的定義之間.一個概念，區區幾個字，可能代表了很多東西，其內涵豐富無比.在教學中表述概念要做到準確無誤，教學語言要符合知識內容的邏輯順序，引用概念時敘述要完整.而對學生要求要嚴格，每個概念及其矛盾概念必須能完整準確地敘述，即使一點小的問題，例如把“非負數”說成“正數”，都應及時糾正.還以數列極限為例：數列極限這幾個字，就意味著ε-N語言——對于任意給定的正數ε,總存在正整數N,使得當n>N時,|a璶-a|<ε都成立,就稱常數a是數列{a璶}的極┫.這個說法意味著極限是一個動態的過程，在描述的過程中不能變動語句的順序，如不能敘述成：存在正整數N,對于任意給定的正數ε,當n>N時,不等式|a璶-a|<ε都成立,就稱常數a是數列{a璶}的極限.前后兩種說法是不同的數學過程，只有前者能描述數列極限.

此外，還應加強用定義證明題目的訓練，強化概念的精確描述.畢竟數學語言和日常口語有很大區別，讓學生多做概念方面的習題，能讓學生習慣于數學思維與數學語言，培養學生的邏輯表達能力.

3.重視概念之間的聯系：培養學生類比分析、邏輯推理能力

例如，討論單變量實函數極限，可以把它分成左右極限的問題，也就是把整體問題分成兩個部分問題來討論；考察多元函數的極限，也就是整體極限(重極限)的時候，不能把它分成有限個部分極限（方向極限或路徑極限)來討論.單變量函數與多變量函數的根本區別在于對單變量而言趨于某點僅有兩個方向，而對多變量卻有無窮多個方向，而趨于某點的路徑則更多.可見單變量實函數極限和多元函數極限雖然有相似的地方，區別卻更明顯.

再比如，在學了一元函數定積分以后，再學多重積分、線積分等概念時，發現它們雖然積分區域不一樣，但是本質上是一樣的，都是源于“分割、做積分和、求極限”的思想.

在教學過程中加強概念之間的內在聯系，可以使學生對數學分析的整個體系有一個完整的了解，并且培養了學生類比分析、邏輯推理的能力.

4.重視概念的正反舉例和習題演練：加深理解，認清概念的本質

恰當的正、反例是理解概念最好的幫手.例如，在理解數列極限的概念（ε-N語言）時，1[]n→0,即笑>0,令N≥1[]ε，則當n>N時，1[]n-0<ε.這里的N有無窮多個（對比定義中的存在性），ε強調的是想要多小（正數）就有多小（對比定義中的任意性）.而1不是1[]n的極限，因為當ε=1[]2時，對蠳,鰊>N，使得1[]n-1≥1[]2（只要n充分大，這個式子總是成立）.

不管學習的是概念還是計算方法、定理，大量的習題總是不可避免的.學數學不做習題是不可想象的事情.

5.重視概念的教學方法的多樣性：培養學生的自學能力

（1）適當利用多媒體教學

例如，在講解定積分的定義時，要寫出定義中的“分割、作乘積、求和、取極限”全過程,若按傳統教學手段，把定義寫出，至少要占用一個黑板的篇幅，這樣做非常費時，勢必影響教學進度，減少課堂容量.若用多媒體教學，則這些工作可以課前做好，上課時只需逐行逐段放映出來，輕松明了.這樣既不影響學生對概念的理解，也提高了教學效率.

又比如，在引入定積分的定義時，要用一些小矩形面積的和來逼近曲邊梯形的面積或者是上面提到過的割圓法求圓的面積.這個時候，如果用多媒體動畫演示這些逼近過程，可以讓學生對這個極限過程有很形象的認識，對定義的理解也更深刻.

（2）學生自學

俗話說“授人以魚，不如授人以漁”，在課堂上從教師這里獲取知識只是增長知識的一個方面，而大量知識的獲得，要靠自己讀書，通過大量社會實踐獲得.因此，培養學生學會讀書，善于思考，提高他們的自學能力，是相當重要的.數學分析的新舊概念之間存在著緊密聯系.學生在學習了一個學期的數學分析后，對數學分析中的數學語言、敘述方法都比較熟悉，同時具有一定的讀書能力.這個時候，對許多概念采用讓學生閱讀，然后提出問題讓學生思考的辦法，可以收到很好的效果.例如，在“多元函數積分”的教學中，因為學生已經掌握一元函數定積分、曲線積分等概念，我就把二重積分的概念部分交給學生閱讀，然后提出下列問題：

①二重積分是如何引入的?

②二重積分和定積分、曲線積分之間有什么關系?

學生在看完了以后，到黑板上演示積分定義的過程：分割、求和、取極限，在演示的過程中發現了理解不透的地方，反過來更加深了對概念的理解.這樣的方式收到了很好的效果.不但使學生提高了自學能力，對這部分內容掌握得也很好.通過學生自學能力的培養，對學生自己獲取知識以及理解和掌握教師所講授的知識都收到了很好的效果，對學生將來進一步學習更是大有益處.

曾經有名學生開玩笑地跟我說：“數學之美，猶如飲酒，在于將醉未醉之間——暈暈乎乎.”會暈暈乎乎的，肯定是概念沒理解清楚，或者理解得不夠深刻.如果我們能讓學生把概念都弄清楚了，數學之美，應如飲清茶，唇齒留香，回味無窮.

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［1］華東師范大學數學系.數學分析（第三版）.北京：高等教育出版社，2001.

［2］樊守芳.數學分析概念教學初探.井岡山師范學院學報(自然科學)，2003，23（5）：85-87.