向量中的除法運算向量中的除法運算

望西軍 宋開福

【摘要】探究向量的除法運算，給出向量除法運算的運用.

【關鍵詞】向量；向量的除法オ

向量，它既有大小（數），又有方向（形），因而向量是數的一部分.在數軸上的向量坐標是一個實數a（它的起點在原點0，終點對應這個實數a）；在平面中的向量坐標是實數對（x，y）（它的起點在原點（0，0），終點對應這個點（x，y））；在空間中的向量坐標是三實數組（x，y，z）（它的起點在原點（0，0，0），終點對應這個點（x，y，z））.在這個意義上，向量可以看作實數的一種推廣.另一方面，在數學的發展史上，復數（x+y玦）曾被推廣到四元素（x玦+y玧+z玨+a），而其中的﹛玦+獃玧+z玨被發展成現在的向量.向量運算有著自身的特點，有些運算律與實數相同，有些與實數運算律不相同.

向量自有加、減、數乘及數量積運算之時，人們就已經研究過除法運算問題，然而幾百年來，前人沒有留下關于向量除法的文字，也沒有看到關于向量除法的解釋.向量，你真的沒有除法運算嗎？

我們先看一個例子，求方程（x2-3）(x2+1)=0的解.

1.當x為有理數時，解集x∈В華

2.當x為實數時，解集x∈{±3}；

3.當x為復數時，解集x∈{±3,±玦珆.

如果回答方程（x2-3）(x2+1)=0無解、有兩解或有四解都不對，因為它在不同的范圍內，解集不同.

對向量的除法運算也應如此.

設a，b都是非零的向量：

（1）當a與b不共線時，a[]b沒有意義；

（2）當a,b共線時赼[]b=λ∈R

當a，b同向時，λ=|a|[]|b|;當a,b反向時，λ=-|a|[]|b|.

由此可見，向量的除法運算是共線向量范圍內存在的一種運算，向量a,b共線的表示a=λb實質上是向量除法的變形記法.

下面再來看向量除法運算的運用.

(1）向量除法在判斷兩向量共線方面的運用.

例1 （新課標《數學》2004年版必修4教材（玃98）例6）已知a=（4，2），b=（6,y），且a∥b，求y.

解 由a∥b輆[]b=2(2,1)[]3(2,y/3)∈R輞=3.

例2 （新課標《數學》2004年版必修4教材（玃98）例7）已知A(-1，-1),B(1，3),C(2，5),判斷A，B，C三點之間的位置關系.

解 ∵〢B=(2,4),〢C=(3,6)蒔〢B猍]〢C=2[]3,

∴〢B∥〢C.又AB∩AC=A,

∴A,B，C三點共線.

（2）向量除法在線段的定比分點中的運用.

例3 設點P1(x1,y1)，P2(x2，y2)，點P(x,y)分有向線段㏄1P2為λ，即㏄1P=λ㏄P2（λ∈R，且λ≠-1），求P1,P2,P之間的關系.

解

如圖，㏄1P猍]㏄P2=|㏄1P獆[]|㏄P2獆=x-x1[]x2-x=y-y1[]y2-y=λ，或オ㏄1P猍]㏄1P2=|㏄1P獆[]|㏄1P2獆=x-x1[]x2-x1=y-y1[]y2-y1=λ[]λ+1.

向量除法將向量、向量的模及點的坐標連在一起.

例4 (新課標《數學》2004年版必修4教材(玃101)練習第7題)已知A(2,3),B(4,-3),點P在線段AB的延長線上，且|〢P獆=3[]2|㏄B獆，求點P的坐標.

解

設點P的坐標為（x，y），則

〢B猍]〢P=2[]x-2=-6[]y-3=1[]3,∴P(8，-15).

ァ靜慰嘉南住開オ

普通高中課程標準實驗教科書必修4《數學》A版.