多角度思考 一題多解

姜靈靈

對于一個數學問題，若能根據已知與要求之間的關系，發散思維，善于聯系，多角度深入地思考，可以得到多種不同的解法，從而訓練思維的廣闊性、靈活性、深刻性.

例題 如圖,在△ABC中，已知AB=3，AC=6，BC=7，AD是∠BAC平分線.求證：DC=2BD.

思路一 應用正弦定理

法一 由題意知,オ玸in∠ADB=玸in(π-∠ADC)=玸in∠ADC.

∵AD是∠BAC平分線，ァ唷螧AD=∠CAD，

玸in∠BAD=玸in∠CAD.

ピ凇鰽BD與△ADC中，由正弦定理得

AB[]玸in∠ADB=BD[]玸in∠BAD,AC[]玸in∠ADC=CD[]玸in∠CAD.

兩式相除，得AB[]AC=BD[]CD.∵AB=3,AC=6,∴DC=2BD.

點評 這種解法是看到角平分線產生角所對的邊與題目隱藏條件∠ADB，∠ADC所對的邊的關系恰符合正弦定理.

思路二 應用三角形面積

法二 過D作DE⊥AB于E點，DF⊥AC于F點，過A作AN⊥BC于N點.

∵AD是∠BAC平分線，ァ郉E=DF，S△ADB=1[]2AB?DE=1[]2BD?AN，

S△ADC=1[]2AC?DF=1[]2DC?AN，兩式相除，得

AB[]AC=BD[]CD.∵AB=3,AC=6,∴DC=2BD.

點評 這種解法是利用角平分線的定理得到結論，根據三角形面積表示的多樣性聯系起來解題.

思路三 應用余弦定理

法三 取AC的中點G，連DG，∵AB=3,AC=6,ァ郃B=AG=3.

∵AD是∠BAC平分線，ァ唷螧AD=∠CAD.ァ逜D=AD,∴△ADB≌△ADG,

∴BD=DG.設BD=DG=x,DC=7-x，

玞os∠C=72+62-32[]2×6×7=32+(7-x)2-x2[]2×3×(7-x)，

解得BD=x=7[]3,DC=14[]3,即DC=2BD.

法四 ∵AD是∠BAC平分線，ァ唷螧AD=∠CAD=1[]2∠BAC，

∴玞os∠BAD=玞os∠CAD,∠BAD=∠CAD∈0,π玔]2,

∴玞os∠BAC=2玞os2∠BAD-1=2玞os2∠CAD-1.ァ逜B=3,AC=6,BC=7,

∴玞os∠BAC=32+62-72[]2×3×6=-1[]9,ァ嗒玞os∠BAD=玞os∠CAD=2[]3.

設BD=x,DC=7-x,在△ABD與△ADC中，由余弦定理得

x2=32+AD2-2×3×2[]3AD,

(7-x)2=62+AD2-2×6×2[]3AD,

00,

解得BD=x=7[]3,DC=14[]3,∴DC=2BD.

點評 利用題目中給的邊的數據和角平分線，利用余弦定理求出邊，從而命題得證.

思路四 應用相似三角形

法五 過C作CH∥AB，交AD的延長線于H點，

∴∠BAD=∠AHC,∠ABD=∠HCD.

∴△ABD∽△HCD,ァ郆D[]CD=AB[]CH.

∵AD是∠BAC平分線，オオオオァ唷螧AD=∠CAD=∠AHC，

∴AC=CH.∵AB=3,AC=6,∴DC=2BD.

法六 過B作BM∥AC，交AD的延長線于M點，

∴∠CAD=∠AMB，∠MBD=∠ACD，ァ唷鱉BD∽△ACD,

ァ郆D[]CD=MB[]CA.ァ逜D是∠BAC平分線，ァ唷螧AD=∠CAD=∠AMB，ァ郃B=BM.∵AB=3，AC=6，∴DC=2BD.

法七 過B作BO∥AD，交CA的延長線于O點，

∴∠BAD=∠OBA，ァ螩AD=∠COB，ァ螩DA=∠CBO.

∴△CDA∽△CBO,ァ郆C[]CD=OC[]CA.

∵AD是∠BAC平分線，

∴∠BAD=∠CAD=∠AOB=∠ABO，

∴AB=BO.ァ逜B=3，AC=6，∴DC=2[]3BC.

∵BC=BD+DC,∴DC=2BD.

這是一道蘇北四市在2010年10月份模擬試卷上的第15題，可以靈活運用多種知識與方法加以解決.本文提供了4種思路的7種解法，涉及正弦定理、余弦定理、三角形面積等相關知識的應用.