也談數學概念的定義方式

近期，貴刊連續刊登了張奠宙教授、戎松魁老師和馬建平老師的文章，其中均涉及對數學概念定義方式的不同理解。對此，筆者也談些粗淺的感受。

眾所周知，數學概念是建立數學知識體系的基本要素，是數學判斷、推理的基礎，是培養學生數學能力和發展智力的起點。因此，概念教學歷來是數學教學的重點內容之一。

就小學生而言，對數學概念的理解水平既是數學素養的基本體現，更關系到掌握數學知識的基礎是否扎實。但是，鑒于小學生的知識基礎和思維能力，小學課本對于許多數學概念并沒有給出符合邏輯學要求的嚴格定義，但這并不意味著概念的呈現可以“生活化”，可以隨心所欲，而同樣應該體現數學的特性、數學的魅力。這種“數學的熏陶”能從小就給學生以邏輯的嚴謹性感受，這是其他學科所難以替代的。

數學概念的定義方式是多樣的，在初等數學中用得最多的是屬加種差定義。這是因為我們認識客觀世界大多遵循從已知到未知，用已知解釋未知，進而把未知變為已知的往復循環、逐步深入的過程。而屬加種差的定義概念方式是對數學知識形成過程最好的詮釋。另一方面，在同一數學知識體系中總會有一系列概念屬于同一類型，例如，四邊形→平行四邊形→矩形、菱形→正方形等。這些概念之間的外延存在包含關系，稱之為屬種關系。即前面的概念是后面概念的屬概念、后面的概念是前面概念的種概念。因而，利用已知的屬概念和其他已知的可用來表述種差的有關概念來解釋未知的種概念便成為可能。

例如，“有一個角是直角的平行四邊形是矩形（長方形）”這一定義表明，矩形是一種平行四邊形，它和其他平行四邊形的區別是“有一個角是直角”。

一般而言，在屬加種差定義中指明了兩點：①指出了一個更一般的概念（屬概念），被定義的概念則是它的特例；②指出了被定義概念從屬概念中劃分出來所依據的屬性（種差）。因而，屬加種差定義可用公式表示為：屬概念+種差=被定義概念。

基于上述理解，筆者認為對數學概念（即使是小學數學教學中的有關概念）下定義應該注意以下幾個方面。

一、用屬加種差的方式給概念下定義應選取與被定義的概念最鄰近的屬概念

如給“矩形”下定義，先要找到它的屬概念。眾所周知，平行四邊形和四邊形都可以作為矩形的屬概念，但平行四邊形是與矩形更鄰近的屬。在平行四邊形這個屬里，除了包含矩形這個種外，還包含其他種，所以還需要進一步找出矩形所具有的、區別于其他種的本質屬性 （ 即種差） 。顯然，“一個角是直角”是矩形最簡單的一個種差。于是就有了“有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形”的定義。當然，“屬概念一般應該與被定義概念是最鄰近的”意味著也可以從較“遠”的屬概念出發定義，但這就導致需要更多的種差來區分不同的種概念。如作為矩形屬概念的四邊形，由于其外延更大，平行四邊形、梯形等都是其種概念，因而，要區別于更多的其他種概念，從四邊形出發定義矩形就需要找更多的種差，如“直角”就需要從一個增加到三個。由此不難理解，屬概念與被定義的概念越鄰近，種差就越簡單。

由此可知，首先，從最鄰近的屬概念出發定義種概念可以最完美地體現數學知識的邏輯結構，更易使知識系統化。其次，根據學生的接受能力，在已知概念的基礎上增加最少的知識所形成的新的概念在理解和掌握上會更容易些，會更有利于形成合理的認知結構。再次，用與被定義概念最鄰近的屬概念定義，使新概念有一個良好的歸屬，有利于概念的分類。試想，直接從四邊形出發定義矩形，對四邊形和特殊四邊形的分類將出現何等尷尬的現象？

所以，用屬加種差方式定義數學概念盡量不要越級選取屬概念。

二、數學概念下定義要嚴謹

首先，不能用對生活常識概念的理解方式去理解數學概念。即一個數學概念的定義在顧及學生能夠理解的同時，也應該考慮其嚴謹性。那種“我的課堂我做主”的隨意性在這里是要不得的。例如，將漢語詞典中的一些名詞解釋作為數學概念的定義就不是研究學問的好方法。

其次，給數學概念下定義必須簡明。就是說，定義中不能包含可以互相經過推理而得出的屬性。“種差”少了，無法刻畫這個概念準確的內涵（導致外延擴大），當然不行；而多了同樣不行，即使不矛盾也是累贅而不夠簡潔。因而，“種差不多也不少”也是下定義的基本要求。例如，將矩形定義為“四個角是直角的四邊形”顯然不夠簡明，因為用“有三個角是直角”這個“種差”就可以了。

三、定義數學概念既要尊重學生現實又要體現數學特性

眾所周知，數學概念的定義是人為的，如同我們熟知的歐氏幾何是從平行公理（過已知直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行）作為起點之一，定義幾何概念，形成歐氏幾何體系；而非歐幾何又是從各自的平行公理（過直線外一點至少有兩條直線與已知直線平行和過直線外一點沒有一條直線與已知直線平行）作為重要的出發點之一而形成了以“三角形內角和大于（小于）180°”為顯著特征的非歐幾何學體系。但是，數學教學中的數學概念還是按教材中給出的定義教學為好，因為教材相對較好地體現了數學知識體系的遞進關系和兒童學習數學的漸進程序。像“矩形”這種長期以來已被大家所認可并且在教材中固定下來的定義，我們就不必再去重新定義了。

“矩形”在小學階段沒有下定義，它的定義出現在初中教材中。小學教學中是通過揭示長方形的主要內涵：“四條邊，對邊長相等；四個角，都是直角” 等來描述，這便于學生對長方形概念的理解與運用，但它不是數學意義上的長方形定義。所以，說到長方形（矩形）的定義，還是以與初中教材相銜接為好。

另外，即使找到與被定義概念最鄰近的屬概念，但由于種差有時是不唯一的，這會導致用屬加種差方式所做出的定義也不唯一。例如，若用“兩條對角線相等”做種差，矩形的定義就成為這樣：“兩條對角線相等的平行四邊形叫做矩形。”可以證明這個定義與“有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形”是等價的，但在小學教學中還是選擇有利于學生理解又不失數學的嚴謹性的“一個角是直角”作為“種差”為好。

由張奠宙教授主編的《中學教學全書數學卷》（上海教育出版社1995年出版）第184頁上給出了這樣的定義：“[矩形] 也稱‘長方形’。有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。”這是完全符合給概念下定義規則的最合適的矩形定義。中學教材中使用的也是這個定義。

（浙江紹興文理學院上虞分院 312300）