數學猜想：基于數學事實的合情推理

猜想是在對研究的對象、問題進行觀察、實驗、分析、比較、聯想、類比、歸納等的基礎上，依據已有的材料及知識做出符合一定的經驗與事實的推測性的思維方法。雖然猜想是直觀判斷，但決不是盲目亂猜，它是在一定知識結構中提出，以扎實的基礎知識為依據，使學生不僅把知識掌握牢固，而且能受到科學發現的方法教育，從而培養學生的創新思維能力。不難看出，數學猜想不僅是思維能力的范疇，也是義務教育階段培養的目標之一。因此，教師在數學課堂中要倡導學生猜想，但這種猜想不是天馬行空，而是建立在數學規律基礎上的合情推理。

一、數學猜想的有效路徑

數學猜想思維是通過一定的思維方法進行的。數學猜想思維的基本方法是學生數學猜想思維能力的基本要素。在數學教學中，要培養學生的數學猜想能力，就一定要幫助學生掌握數學猜想思維的基本方法。

（一）通過歸納進行數學猜想

“歸納猜想”依據邏輯學觀點，是選取個別性知識做前提所推出一般性結論的猜想。小學階段，教師可以通過實例激發學生對“猜想”的興趣，并以合情推理進行探索，歸納猜測出數學結論，且可證明結論正確。數學中很多著名定理皆采取不完全歸納法先發現后證明。比如，哥德巴赫（德國著名數學家）由3+7=10、3+17=20、13+17=30等算式發現兩個奇素數之和等于“偶數”，哥德巴赫進行深入探索，發現：6=3+3；8=3+5；10=3+7=5+5；12=5+7；14=3+11=7+7；16=3+13=5+11。于是，哥德巴赫得出：任何不小于4的偶數都可以寫成兩個素數相加的形式。此即為著名的“哥德巴赫猜想”，雖然迄今還是一個猜想，可數學家們在此猜想證明的活動中，發現及發明了很多的數學定理，為“數學發展”及“社會發展”作出巨大貢獻。在實際教學中，教師也可以依照教學內容對學生進行“歸納猜想”訓練。比如，教學“多邊形的內角和”時，可由內角和為180°的三角形入手，從而得出四邊形內角和為360°、五邊形內角和為540°。進而令學生直接猜想九邊形內角和是多少度，n邊形內角和為多少度，并進一步啟發學生驗證自己的猜想。

（二）通過聯想進行數學猜想

聯想猜想，由“熟悉與陌生”彼此溝通聯系，也已成為思考解決新問題的手段與策略。比如，教學“三角形面積公式”之后，學生可通過對比輕松地猜測出“梯形面積公式”的推導方法；在學習“圓柱體積公式”推導之時，可啟發學生對“圓面積公式”推導方法展開聯想猜想。比如教學中常見的一個例子：已知甲、乙、丙三人中僅一人會開車。甲說：“我會開汽車。”乙說：“我不會開車?！北f：“甲不會開車。”若三人僅一人說的是真話，那么誰會開車呢？教師讓學生展開聯想：甲說：“我會開車?！北f：“甲不會開車。”甲也許會開車，也許不會開，甲與丙肯定有一人講的是真話。若三人中僅有一人說真話，此人又在甲與丙中，那么乙說的是假話。因為乙講的是“我不會開車”，因此會開車的是乙。通過上述例子，讓學生大膽展開聯想猜想，只要學生找對知識生長點，即可充分發揮聯想猜想在數學學習活動中的價值。聯想猜想，是展開數學學習的關鍵模式，是培育學生良好的“思維品質”的主要方法。

（三）通過類比進行數學猜想

類比猜想，是指依據一類事物具有的某種特質，得出與其相似的事物亦應具有此種特性的猜想性判斷，是以對比為基礎的由特殊至一般的聯想手段。類比猜想是“由此及彼”及“由彼及此”的聯想手段，具有啟發思維、提供線索、觸類旁通的作用，對發展思維及創造思維非常有益。與歸納相同，類比在小學數學活動中不難發現。通過類比，由加法、減法運算定律極易聯想到乘法、除法的運算定律，由除法各部分彼此關系，也能聯想到分數的基本性質等。并且，類比猜想是系統掌握新知識、鞏固舊知識，讓新舊知識融會貫通的主要手段。實踐教學活動中，教師可有意誘導學生關注知識彼此的對比。如“分式與分數”“分數和除法”“乘法與加法”等的類比。鞏固舊知識，發現新知識，極大提升學生的學習效能。另外，教師可將“需解決的問題”和類似“已解決的問題”展開對比，讓學生進行猜想。比如，教學“3的倍數特征”之時，一般先讓學生由“2與5倍數特征”猜測3的倍數也許會有何特征。在“2與5倍數特征”的思維定勢下，學生一般會有個位是“3、6、9”的數皆為3的倍數的猜測。此時，教師不需急著否定學生的猜測，可給出“13、23、16、76、19、89”一組數據讓學生觀察、驗證，創設認知沖突，調動學生強烈的求知欲，啟發學生深入探究。

當然，規律的發現本身就是一個不斷更新的過程，以上舉例只是滄海一粟。在教學實踐中，學生的猜想可能貌似天馬行空，毫無路徑可言，但未必就不是一種新思考路徑的產生。所以，教師在教學中要持有開放的心態。

二、數學猜想教學的若干建議

數學是猜想最活躍的領域之一，猜想在數學中作用甚大，利用它可以發現解題思路，發現新原理、新公式等。因此，在小學數學教學中，教師要創造機會讓學生大膽猜想。下面結合自己的教學實踐談一點教學建議。

（一）依據直觀教學，誘發猜想欲望

小學生以形象思維為主。在小學數學教學中要充分利用直觀教學手段，讓學生在觀察或動手中，誘發他們的猜想欲望。如在教學“圓柱體側面積”時，教師可以讓每個學生在課前都準備好一張標有長、寬數量的長方形紙，在課堂上指導他們通過下面的操作過程來探究知識，尋找規律。首先，先讓學生將長方形的紙卷成圓筒狀，再推平，這一卷一推，就使學生發現，一個圓柱的側面經過展開（推平）可以轉化為平面圖形（長方形）。其次，讓學生重復上面的實驗，并仔細觀察這個長方形的長和寬與卷成的圓柱形各部分之間的關系。學生通過觀察和操作，得到了感性知識，并逐步上升為理性認識。在此基礎上，讓學生大膽猜想，尋找圓柱形的側面積公式。如果有部分學生不能猜得結果，那么可讓他們做下面一組題：把圓柱的側面（ ）得到一個長方形，這個長方形的長等于圓柱的（ ），寬等于圓柱的（ ），因為長方形的面積等于長乘寬，所以圓柱的側面積等于（ ）。這樣，這部分學生也能得到圓柱形的側面積公式了。至此，學生的求知欲望完全被激發起來了，教師就很自然地過渡到新課的教學上來。

（二）借助經驗，培養猜想能力

蘇聯的克魯捷茨基在《中小學數學能力心理學》一書中舉了這樣一個例子：有一位學生在做題“四根管子通向水池，第1、2、3號管打開后，水池12分鐘可以灌滿；第2、3、4號管打開后，水池15分鐘可以灌滿；第1、4號管打開后，水池20分鐘可以灌滿。如果四管同時打開，問水池需要多少時間可以灌滿？”時，起初試著用列方程的方法去解，結果沒有解出。然后，她突然有所領悟：“管子的兩倍，……一分鐘可灌滿水池的……一組管子每分鐘灌滿水池的1/10。于是10分鐘可以把水池灌滿?！?這一解答，連她本人也說不上是怎樣想出來的。這種情況教師或許碰到過，學生或許也碰到過。無一步一步的分析，無清晰的推理步驟，而對問題突然間的領悟、理解或給出答案，有時會讓人欣喜若狂。在教學中，教師要讓學生用熟悉的知識和經驗聯系、類比不熟悉的知識，從已有知識經驗中獲得對新知識的啟示，使之頓悟，培養學生的猜想能力。

（三）利用推理，驗證猜想結果

在綜合性很強的數學情境中，固然需要對問題實質進行大膽的猜想，然而，猜想畢竟是猜想，它不一定是正確的，還需要利用推理進行驗證。因此，在小學數學教學中，教師要注意把猜想訓練和邏輯思維訓練有機地結合起來。

由于小學生受知識和邏輯思維能力的限制，小學數學中有許多結論是不加以證明的，這給猜想的驗證帶來一定的困難。但教師要給學生對某一問題的猜想作出明確的表示，讓學生信服為什么猜想是正確的或是錯誤的。盡管猜想在解決問題時能發揮特有的作用，產生新的奇妙的數學意境，但它不是解決一切問題的“靈丹妙藥”。在小學數學教學中，教師要根據教學內容恰當運用猜想，片面強調猜想是失之偏頗的。

總之，猜想不是胡思亂想和任意拼湊。它是一種科學的思維活動，它是以已有的表象（如數量關系的描述、圖象的示意等）為引發物，按邏輯思維的規律而進行的思維活動。猜想的思維基礎往往是歸納推理，即由特殊到一般的推理。也就是對特殊情況的結論進行一番分析，去偽存真，由表及里，找出共性（即本質的東西），由此猜想一般性的結論該是什么。猜想能力是創造性思維能力的表現形式之一。形成科學的、智慧的猜想思維能力非朝夕之功，它需要教師長期寓猜想思維能力的培養于平時的教學之中，持之以恒，不斷突破，方能有所收獲。唯有如此，才能實現皮亞杰指出的“在數學教學中必須有猜想的地位”之目的。

（江蘇省江陰市英橋國際學校 214400）