三角形內角和定理的證明無法繞開平行公理

小學數學并不簡單。本刊2012年第六期，就有馬建平和戎松魁兩位老師的文章，他們針鋒相對地就“三角形內角和為180度的證明能否避開平行公理”展開爭論。由此可見，小學數學里的學術含量并不低。以筆者看來，“小學數學”多年來一直缺乏現代數學觀念的引領，不能與時俱進。現行教材中有關分數、運動、角、平行線、面積、體積、方程等等基本概念的闡述，都有許多欠缺，甚至出現錯誤。近段時間以來，小學數學只講究怎么教，在教學設計上下工夫。至于許多數學概念本質的揭示，則不大關注，以為小學數學那點事，誰都懂。可是，一不小心就出了狀況，令人遺憾。

這里以人教版一年級下冊“找規律”為例，見下圖：

這里的一個“應”字，就是不妥當的。它意味著找的規律只有一種（兩個一組間隔出現），第一排的第10面旗只能是黃色，即“紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅，黃”。

小學數學界一向認為，此題的答案非“黃”不可，必須讓學生無條件地接受“兩兩間隔”這一規律。這妥當嗎？

事實上，我們可以找到許多其他的規律，使得第10面旗是“紅”。

例1:（9個一組，周期重復）于是第9、第10；第18、第19，連續兩面都是紅旗，即:

紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、黃，紅；紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、黃，紅；紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、黃，紅；紅，……

例2:（10個一組，最后兩面都是紅旗）第9、10、11連續地出現三面紅旗，即:

紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、黃，紅，紅；紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、紅；紅、黃、紅、黃、紅、黃、紅、黃，紅，紅；紅……

你能說這不是規律嗎？

實際上，找規律問題是一個開放性問題。任何一個有限序列，都可以生成無限的多種的規律。認為只有一個規律，推斷出“必須是什么”和“應該是什么”，把開放題封閉成一個唯一答案的題目，在數學上是不對的。

有人說，小學生只能找最簡單的一種，多種規律是以后的事情。這可以理解。但問題在于，小學數學的大量課件、教師用書都沒有指出這是一個開放性問題。有些文章在討論，重復幾次才算“規律”，更是誤導。

怎么辦？只要改一個字：把“后面一個應是什么”改成“后面一個會是什么”就可以了。“應”和“會”一字之差，意義完全不同。蘇步青先生在指導中小學教材編寫時，提出“混而不錯”的原則。用在找規律的時候是，如果問“會是什么”，其答案可以有許多種，其意義比“應是什么”寬泛許多。至于將來在幾年級將它當做一個開放性問題來處理，可以討論，但是必須有這樣一步才好。

讓我們回到“三角形內角和為180度”的問題上。馬建平和戎松魁兩位老師的爭論點，在于矩形可否定義為“四個角都是直角的四邊形”。馬老師認為可以，于是就認為由此可以證明三角形內角和定理，而無需平行公理。戎老師認為不可以，必須用平行四邊形定義矩形，由此說明三角形內角和定理不能繞開平行公理。

筆者認為，兩位老師都有對的部分，也有不對的部分。馬老師覺得矩形可以定義為“有四個直角的四邊形”，這是對的。但是，以為由此定義出發，可以避開平行公理來證明三角形內角和為180度，則是錯的。戎老師堅持三角形內角和定理，必須使用平行公理，這是對的。但是，說矩形不能定義為“有四個直角的四邊形”，則是不對的。

實際上，將矩形定義為“四個角都是直角的四邊形”，完全可以。屬和種差式的邏輯定義方法，并沒有規定所從屬的“屬”必須是其外延最相近的。打個比方，要定義“杭州人”，可以說成“居住在杭州的中國人”，沒有錯。也就是說，并非一定要把“杭州人”定義為“居住在杭州的浙江人”，因為二者是等價的。對于矩形的“四直角”定義，一旦服從平行公理，就和“有一個角是直角的平行四邊形”定義等價（如果沒有平行公理，那么兩者是不等價的）。

然而，如同馬建平老師和許多其他文章所說的那樣，可以從“四個角都是直角的四邊形”出發，繞開平行公理就能夠直接推出“三角形內角和為180度”，則是不可能的。理由如下。

依照四個角都是直角的矩形定義，自然得出矩形的內角和是360度，這毫無問題。矩形的對角線把矩形分為兩個一樣的直角三角形，只要運用平移旋轉的剛體運動也可以做到。小學生也知道一點平移、旋轉、對稱的知識，可以直觀地接受，嚴密地邏輯證明需要引用合同公理得出兩個三角形三邊相等則全等的結論，邏輯上引用就是了。于是，得到了如下的結論：“矩形對角線分成的兩個直角三角形，每一個的內角和都是180度。”邏輯的正確性到此為止。問題在于，“任意的直角三角形，是不是都能成為某一個矩形用對角線分成的直角三角形？”這需要證明，不能想當然。馬老師及許許多多作者都振振有詞地把兩者混為一談，犯了邏輯上的錯誤。

換句話說，馬老師等作者的所謂證明，必須從任意的“直角三角形”出發，作出一個矩形，使其成為該矩形的一半。但是沒有平行公理，這是作不出來的。那個貌似正確的三角形內角和證明，這一關過不去，整個證明的邏輯鏈條就斷裂了。

馬建平老師可能會說，從已知的直角三角形出發，作一個和自身一樣的直角三角形，兩者拼起來就是一個矩形。這是一廂情愿。這樣拼起來的四邊形只有兩個直角；無法證明它有四個直角，除非引進平行公理。

這就是說，想從“矩形有四個直角”作為矩形的定義出發，避開平行公理來證明三角形內角和為180度的企圖，是決然不可能實現的。

馬建平和戎松魁兩位老師，還就此事提到“我的課堂我做主”的高度來議論。但是，由上可見，這種所謂“拔高了的教學目標”和“到初中才能學習的”內容，其實是一個錯誤的論證。

（華東師范大學數學系 200062）