“整數乘法概念教學研究”校本教研活動方案

一、活動目標

1．經歷閱讀、思考、解答并與同事交流關于整數乘法概念教學研究的相關資料與問題的過程。

2．能夠明確整數乘法概念的定義以及小學數學中乘法概念的直觀描述。

3．能夠對整數乘法概念教學的不同片段進行比較與分析，明確整數乘法概念教學的重點。提升整數乘法概念教學的能力。

二、活動內容、形式與時間

1．數學組教師獨立解答關于整數乘法概念教學的相關問題，并與同事交流；獨立解答時間約2小時，交流時間約1小時。

2．教研組確定一位教師上一節“乘法初步認識”的教研課，數學組其他教師聽課后評課。聽課時間約40分鐘，評課與交流時間約1小時。

可以根據學校教研活動的時間和教研組教師的情況，選擇下面“活動前準備”中的一些問題進行解答與交流。

三、活動前準備

解答下面的問題，并準備交流。（說明：本文中所指的乘法均指正整數乘法。帶“*”的題目表示有一定難度）

1.你覺得什么叫乘法？寫一寫。閱讀下面的文章，并回答問題。

在1984年出版的中等師范學校數學課本《小學數學基礎理論與教法》（第一冊）中，關于乘法給出了以下的定義：

b（大于1的整數）個相同加數a的和c叫做a與b的積。就是：c=a+a+…+a（b個a相加）。求兩個數的積的運算叫做乘法。

記作：a×b=c。

讀作：“a乘以b等于c”或“b乘a等于c”。

數a叫做被乘數，數b叫做乘數，被乘數與乘數也叫做積的因數。

補充定義：

(1)當乘數是1時，a×1=a。

(2)當乘數是0時，a×0=0。

在2001年頒布的《數學課程標準》中，有這樣的注釋：“關于乘法：3個5，可以寫作3×5，也可以寫作5×3。3×5讀作3乘5，3和5都是乘數（也可以叫因數）。”

在2011年頒布的《數學課程標準》中，有一個整數乘法意義的例題與說明：“例5 教室里有6行座位，每行7個，教室里一共有多少個座位？[說明]這個例子可以引導學生理解教室中的座位數是6個7的和，可以寫成：6×7或7×6。”

請回答下面的問題：

(1)在上文的數學課本中，有一個補充定義，你認為給出這樣的補充定義有什么意義？

(2)從上文中可以看到，無論是中等師范學校的數學課本，還是兩個課標的注釋或說明都是在闡述乘法的意義。你覺得這三個說法有什么相同與不同的地方？

(3)*有老師（戎松魁，2004）認為，2001年頒布的《數學課程標準》中的注釋存在三個問題：①“3個5”的意義不明確，應改為“3個5相加”；②“3個5，可以寫作3×5，也可以寫作5×3”的規定不合理；③“乘數”也可以叫“因數”的說法不妥當。

你覺得戎松魁老師指出的這三個問題是否有道理？為什么？在2011年頒布的《數學課程標準》的例5與說明中，這三個問題是否同樣存在著？

(4)*有老師（戎松魁，2012）認為，按照2011年頒布的《數學課程標準》例5中的規定，乘法交換律將不復存在。理由是：按照規定，“6個7的和”可以寫成6×7或7×6”，由此可知，“b個a的和就可以寫成b×a或a×b”。由于“a×b”和“b×a”都表示“b個a的和”，于是a×b=b×a這個等式是由規定得到的，并沒有經過概括、推理或證明，因而不能叫做“乘法交換律”。

你覺得這樣的說法有道理嗎？為什么？

2.你覺得在小學數學教材中，應該怎樣描述乘法的意義？寫一寫。閱讀下面的文章并回答問題。

以前的教材在乘法的初步認識中，常常寫著“求幾個相同加數的和，用乘法計算比較簡便”（1982年出版的人民教育出版社五年制第二冊教材第62頁）這樣直觀描述乘法意義的語言。而根據課程標準實驗稿編寫的教材，對于乘法意義的描述有了變化。以下是三個版本的教材結合同數連加的情境給出的描述。

人教社教材：“用乘法算式表示真簡便。”

北師大教材：“用乘法表示就簡單了。”

浙教版教材：“求幾個相同加數和可以用乘法計算。”“用乘法表示比較簡便。”

你覺得以前的表述與現在的表述有什么相同與不同的地方？這種變化可能的原因是什么？

3.如果我們用“求幾個相同加數和的簡便計算叫乘法”作為乘法含義的描述，那么，你認為在教學時，應該強調“求幾個相同加數的和”，還是應該強調“簡便”？還是兩者都十分重要？為什么？

4.如果你教學“乘法初步認識”這節課，那你會設計怎樣的教學過程，讓學生經歷與感受“求幾個相同加數的和”以及“簡便”？簡要地寫一寫你的設計。

5.下面有兩個教學片段，你覺得這兩個片段有什么相同與不同？你更喜歡哪一個教學片段？為什么？

【教學片段一】

上課開始，教師出示游樂園的情境圖，讓學生觀察，并寫出連加算式。

學生觀察后寫出了：

坐著看的人數：3+2+4+3。

坐小火車人數：2+2+2+2。

玩轉盤的人數：4+4+4+4+4。

氣球的個數：5+5+5+5+5+3；10+10+8。

玩三輪車人數：3+3+3。

黃花的朵數：2+3+3。

然后教師引導學生觀察這些加法算式，并對它們進行分類。

【教學片段二】

上課開始，教師出示下面的這些加法算式，讓學生觀察并進行分類。

3+2+4+3； 2+2+2+2 ； 4+4+4+4+4；

5+5+5+5+5+3； 10+10+8； 3+3+3； 2+3+3。

6.下面是一位教師（蔡宏圣，2004）在教學乘法初步認識時的一個教學片段，你認為這樣的教學有什么特點？

教師用圖片的形式出示“電腦教室里，每張電腦桌放2臺電腦，9張電腦桌一共有多少臺電腦？”要求用加法算式解決問題。

師：×× ，老師剛才注意到，你在寫9個2相加的算式時，怎么一邊寫算式一邊在數數？

生：算式太長了，不數就不知道寫了幾個2。

師：這個經驗很好，哪個同學還有寫9個2相加的成功經驗？

生：先寫幾個2相加，停下來數一數還缺幾個2，再寫。

師：寫9個2相加的算式都這樣麻煩，那如果電腦教室里有20張、30張電腦桌，寫20個、30個2相加的算式，那不更麻煩嗎？看來我們有必要創造一種新寫法，把9個2相加寫得簡便些。（接著教師讓學生創造新的寫法）

生：2+2……

生：2+2+ ?+ ?+ ?+

生：2+2等等。

師：大家真了不起，雖然這些新寫法數學書上都找不到，但就像科學家們的創造一樣，剛創造出來的新東西，往往有很多不完善的地方。下面，把我們的新寫法和原來的9個2相加的算式比一比，看看還有哪些需要改進的地方。

（學生逐漸體會到寫法雖然簡便了，但沒有把有9個2相加表示出來。）

師：好，那我們在第一階段創造的基礎上再來創造既能夠簡便又能表示9個2相加的寫法。

生：2+2+2+2+2……9。

生：2+2 多9。

生：2+2。

在鼓勵學生創造的基礎上，引導學生討論思考：既然新寫法中出現了9，就表示“9個2相加”，那是不是還有必要在新寫法中寫2個2、3個2？學生進行了進一步的創造：

生1：2+9

生2：2?9

生3：2 9

師：太了不起了。但老師有個問題想請教大家，這三種寫法中都寫了“2”和“9”，能不能把2和9改成8、10或其他數？為什么？能不能把9寫在其他位置上？

（通過上面的提問，教師引導學生反思，更加清晰地把握住新寫法的關鍵，并著重讓生2和生3講講為什么這樣寫，促使學生認識到：為保證新寫法不至于像生1的寫法那樣引起混淆，應該在“2”和“9”之間加個符號。）

師：除了像生2那樣在2和9之間加個“點”，或者像生3那樣把“2”和“9”隔開些以外，你們還想加個什么符號把“2”和“9”聯系起來？

生：我喜歡★ ，我想加個★。

生：我想加個△。

師：小朋友們想出了這么多有意思的符號。那你們知道數學家們想到了什么符號嗎？

教師用多媒體出示：由于相同加數的加法是特殊的加法，所以，三百多年前，一位數學家想到把“+”轉過來變成“×”，用“×”把“2”和“9”聯系了起來。

隨后教師引入乘法算式的讀法以及算式中各部分的名稱。

7.在乘法的初步認識教學中，一般的教師都會先創設一個情境，然后讓學生認識幾個幾，再從加法到乘法。下面有兩個教學片段，你覺得這兩個教學過程有什么相同與不同？你更喜歡哪個教學過程？為什么？

【教學片段一】

上課開始，教師出示一個情境圖：圖中有房子、草地、河流、小橋，還有兩種小動物，一種是兔子，2只2只站在一起，共有6只；一種是雞，3只3只站在一起，共有12只。教師引導學生認真觀察主題圖，說一說，圖上有什么？學生說完后，出現了下面的師生對話。

師：圖上有幾只兔子？你是怎么知道的？

生：有6只兔子，我是一只一只數出來的。

師：很好。一只一只可以數出6只。還有其他方法嗎？

生：我是一眼就看出有6只兔子的。

師：你能力很強，一眼就能看出6只。

生：我也是一眼就看出有6只兔子的。

師：你的能力也很強。還有用其他方法的嗎？

生：我是2只、2只數出來的，2只、4只、6只。

師：這種方法很棒！還有其他方法嗎？

生：我是用2乘3乘出來的，2乘3是6。

師：你很能干，乘法也知道了。還有其他方法嗎？

生：我是用加法加出來的，2+2+2=6（只）。

師：你的方法也很好，可以加出來。還有其他方法嗎？

生：我是先一眼看出4只，然后再加上2只，一共是6只。

師：你分兩部分也很好，還有其他方法嗎？

生：我是一眼先看出5只，然后再加上1只，一共也是6只。

師：你能這樣看也很好。小朋友們能夠用這么多的方法知道圖上有6只兔子，真了不起！剛才有的小朋友是2只、2只數出來的，下面我們一起來看有幾個2呢？

【教學片段二】

上課開始，教師出示了一個情境圖，情境圖的內容與上面教學片段一的相同。學生說出情境圖中有什么后，出現下面這段師生對話。

師：小朋友們剛才說了圖上有很多東西，現在大家來注意看圖上的兔子，兔子是幾只幾只站在一起的？

生：兔子是2只、2只站在一起的。

師：如果讓你數一數，一共有幾只兔子，你會幾個幾個數呢？

生：我會2個、2個數，一共6只。

生：我會1個2只、2個2只、3個2只這樣數，一共是6只。

師：如果要列出一個加法算式，算出一共有幾只，你會怎么列式計算呢？請每一個小朋友在草稿紙上寫一寫算式，并計算出結果。

……

如果你更喜歡教學片段二，認為教學片段一有一些不妥，那么，你會從哪幾個方面去分析與闡述？如果說，從整節課的教學內容、結構和時間上去分析，教學片段一從內容上看，教學重點不突出；從結構上看，過渡不緊湊；從時間上看，安排不科學。你覺得這樣的觀點有道理嗎？為什么？

8.請你先將下面的加法算式改寫成乘法算式，再想一想，寫一寫，你是怎么解決這類改寫問題的，解決這類問題可以分成哪幾步來完成？

2+2+2+2+2= 5+5+5+5=

8+8+8= 12+12+12+12+12=

下面是對解決這一類問題思維過程的概括，你覺得這樣的概括對教學有什么幫助？

解決問題的思維過程：

一看：看相同加數是幾；

二數：數出相同加數的個數；

三寫：寫出乘法算式，可以把相同加數寫在乘號前面，也可以把相同加數的個數寫在乘號前面。

想一想，寫一寫，把一個乘法算式（如4×3）改寫成同數連加的算式（4+4+4或3+3+3+3）的思維過程是怎樣的？

9.想一想，寫一寫，你認為以下的練習有什么價值？

給出一個乘法算式，比如3×4，要求學生：(1)寫出加法算式表示它的意思；(2)畫一個圖表示它的意思；(3)做動作表示它的意思；(4)用語言說一說它的意思；(5)舉一個生活中的例子說明它的意思。

10.問題：看一看下面的哪些加法算式可以改寫成乘法算式，并嘗試把乘法算式寫出來。

8+8+8+8 6+6+6+6+6+5 2+2+2+2+1 7+7+7

(1)請你解決上面的問題。

(2)有一個學生在解決上面的問題時，把“2+2+2+

2+1”改寫成了“2×4+1”。把“6+6+6+6+6+5”改寫成了兩種形式“6×5+5”和“6×6-1”。你認為這個學生的做法是正確的，還是錯誤的？如果在課堂教學中遇到這樣的情況，你會如何進行反饋與評價？

(3)有人認為，在解決上面這個問題時，無論是把“2+2+2+2+1”改寫成了“2×4+1”，還是把“6+6+6+6+6+5”改寫成了兩種形式“6×5+5”和“6×6-1”，都是錯誤的。理由是：題目要求我們改寫成乘法算式，而像“6×5+5”和“6×6-1”這樣的算式是一個既有乘法又有加法的混合算式，它不符合題目的要求。你認為這種說法是否有道理？如果沒有，請說明理由；如果有，對這個學生的做法，如何進行反饋與評價？寫一寫你的反饋評價語言。

(4)有一個應用問題：如果買一雙襪子是5元錢，那么買這樣的襪子10雙一共要多少錢？有學生認為，可能是50元、49元、48元等等，因為買10雙已經比較多了，可以打折。如果你課堂上遇到這樣的情況，你會如何反饋評價？有人認為，這個學生的做法是絕對錯誤的！理由是隨意改變題目中的條件。題目改變為：如果買一雙襪子是5元錢，買多了可以打折，那么買這樣的襪子10雙一共要多少錢？那么這個學生的做法才是正確的。你同意這樣的觀點嗎？為什么？通過上面的問題(3)與(4)的解決，你有什么感受？

(以上活動方案中問題的相應參考答案略)

(浙江省杭州市上城區教育學院 310006)