一樣的“連乘” 不一樣的“精彩”

2011年3月，筆者接到通知要在“浙派名師暨全國小學數學名師經典課堂教學藝術展”中上一節數學課。能在這樣的大型活動中得到歷練，筆者在高興之余，又有一絲擔心。因為上課的具體內容是人教版三年級下冊“用連乘解決問題”，這一內容筆者曾在2007年學校50周年校慶時上過。如果現在采用原先的設計再上一遍，肯定沒有新意；重新進行設計，可不是件容易的事。如何將同樣的內容，上出不一樣的精彩？筆者對此進行了一番思考和磨課。

2007年版課堂再現

（一）導入

今年我們學校有一件大喜事——50周年校慶。有一位校友為校慶送來了一份特殊的禮物。（教師示新校服圖片及倉庫擺放圖片）

（二）展開

1.自主探索，嘗試解決

(1)觀察提取信息：每箱有200套校服，每層有5箱，放了4層。

(2)學生嘗試計算并交流方法。

方法一：5×4×200=4000（套），總箱數×每箱套數=總套數。

方法二：200×5×4=4000（套），每層的套數×層數=總套數。

方法三：200×4×5=4000（套），每列的套數×列數=總套數。

（設計意圖：選取校服問題作為研究例題，主要原因為：第一，將數學與生活緊密結合在一起，通過計算校服共有幾套，充分激發學生的學習興趣。第二，箱子的擺放圖非常直觀地再現了每行、每列、每箱之間的關系，利于學生清晰解釋連乘算式每一步的意義。第三，這個例題的三種解決方法都具有實際意義。）

(3)小結歸納：4000套校服到底夠不夠？出示學校總人數為3989人，3989<4000。（夠）

2.嘗試練習

(1)教材第10頁例1：跑道每圈400米，她一個星期（7天）跑了多少米？

(2)交流方法。

方法一：400×2×7=5600（米）。

方法二：2×7×400=5600（米）。

方法三：400×7×2=5600（米），如果這個小朋友每天跑400米，7天跑的就是2800米，但是她實際每天是跑2圈，所以再乘2。

（設計意圖：選取跑步問題作為練習題，一方面是因為它源于教材，是一道基本練習;另一方面也是因為它與學生的生活實際密切相關，學生容易理解題目表述的意思。）

3.小結并揭題

4.獨立練習：教材第102頁第4、5題

（三）拓展提高

1.出示問題，獲取信息

解釋規格：12×2板

2.學生解答并交流

（設計意圖：類似這樣的吃藥問題在生活中比較常見，它充分體現了“連乘在日常生活中的應用”。在本題的解答過程中，經常會看到兩種思路。思路一：12×2=24（顆），6×2×3=36（顆），24<36，不夠。思路二：12×2×2=48（顆），6×2×3=36（顆），48>36，夠。第一種思路中學生沒有看清題目條件，導致出錯。看來，在解決實際問題的過程中，還需要培養學生根據問題選取信息的能力，而此題的設計就體現了這一點。）

2007年上完課后，感覺課堂還是比較順利的，但課后幾個沒有答案的問題也一直糾纏著筆者。如：數量關系到底要不要總結？算法多樣化需不需要優化？連乘模式系統建構后要不要適時解構？一個接一個的問題讓筆者對這節課重新進行了一次思考。現在再上這節課，例題的情境也一定得改，當時結合學校校慶實際設計的校服問題已時過境遷。那么多問題湊在一起，讓筆者不免有點擔憂起來，這課究竟該怎么上啊？

行動——“異構”再現思考

思考之一：關于目標定位——注重問題解決

1．學生認知基礎分析

“用連乘兩步計算解決問題”是人教版三年級下冊第八單元“解決問題”第一課時的內容。本課內容是在學生學習了用乘加（減）等兩步計算知識解決問題，兩三位數乘一位數，初步接觸連乘計算式題的基礎上進行教學的。學生在前面的學習中已經獲得了一些解決問題的基本經驗，初步掌握了兩步計算式題的計算方法。基于上述分析，本課的重點定位于運用連乘解決生活實際問題。讓學生經歷從實際生活中發現問題、提出問題、解決問題的過程，理解基本的數量關系，并在解決問題的過程中體會解決策略的多樣性，感知數學的應用價值，享受成功解決問題的樂趣。

2．學生學習難點分析

對學生而言，正確計算連乘式題不存在問題，但根據題意正確分析、理解算式每一步所表示的意義并清晰地表達數量關系，學會用多種策略解決問題是學生在本課學習中的難點。因此，教師的教學應幫助學生提煉解決問題的方法：從問題出發、合理選取信息、多角度思考、對算式每一步進行分析、理解數量關系并鼓勵學生用多種方法解決問題等，切實提高學生解決問題的能力。當然作為本課爭議點之一的“假設”思想，筆者認為在三年級出現并不合適，教師還是應該引導學生結合題意分析算理，幫助學生建立清晰的數量關系。

思考之二：關于材料組織——體現數形結合

1．人教版例題分析

人教版教材例題的材料是“廣播操表演”，這一問題能較好地體現連乘問題的結構特征、數量關系及思考策略，但由于“表演人數較多”的原因，使得用形象的圖解法來分析每種解題思路變得有困難，其實這一問題的解決策略除了用“一個方陣的人數×方陣數”外，其余兩個策略學生很難想到。考慮到以上原因，筆者將例題的素材進行了改編。

2．改編后的例題分析

改編后的例題素材為“禮品盒的擺放”， 如下圖所示。選擇這一材料作為例題的主要原因是：第一，它能較好地體現數形結合的思想，溝通解決問題、計算教學與空間圖形三者的關系，在培養學生解決問題的能力的同時發展學生的空間觀念，為今后的學習打下基礎。第二，根據學生的認知規律：學習過程應從形象感知逐步過渡到抽象概括，因此對例題進行研究時，有必要讓學生借助直觀圖形象地理解數量關系，然后由易到難逐步提升。第三，“禮品盒的擺放”問題共有三種解決策略，這三種策略學生都易發現、易理解，能較好地體現本課解決問題策略多樣化的思想。

思考之三：關于策略選取——重在激活思維

1.多角度思考問題

解決問題應倡導學生根據實際情況多角度進行思考，即從問題出發或從條件出發，通過提供多種信息讓學生篩選，培養學生分析處理信息的能力。在本課的教學設計中，筆者試圖通過具體形象的例題研究到第二層次書面練習（如下圖所示），從問題研究中單一條件到隱藏條件、多余條件的提取，從學生討論解決到自己獨立嘗試等設計，由淺入深、由表及里，通過抽象、概括、歸納、演繹、類比等進行推理，引導學生進行數學思維。

2．多策略解決問題

本課在設計過程中鼓勵學生用多種策略解決問題，如在禮盒擺放問題、跑步問題、游泳問題中都倡導學生用多種方法進行解答，并通過合作交流，開拓學生的思路，培養發散性思維。通過比較分析，優化解題思路，進一步提升學生解決實際問題的能力，為學生今后的數學學習打下扎實的基礎。

帶著對教學設計的三點新思考，筆者完成了本節課的過程預設，課堂實踐的效果證明：這樣的預設是可行的。

【教學預設】

(一)導入環節

雙休日老師去超市看到一箱禮品，它里面的小禮盒是這樣擺放的，課件出示。

（二）新課展開

1．初步嘗試用連乘兩步解決問題

(1)根據圖提煉數學信息。

有2層小禮盒，每層有3行，每行有5個，一共有幾個小禮盒？

(2)學生嘗試解決：列式解答。

方法一：5×3×2=30（個）。

每行有5個，有這樣的3行，用5×3先求出一層的個數，有這樣的2層，再乘2。

方法二：5×2×3=30（個）。

每行有5個，有2行，用5×2先算出一面的個數，因為有這樣的3面，所以再乘3。

方法三： 2×3×5=30（個）。

有2層，每層3個，用2×3求出這樣的一面有6個，共有這樣的5個面，再乘5。

小結變式：如果小禮盒再加一層變為3層呢，你打算先求什么？那如果變成10層呢？100層呢？你打算先求什么？看——來我們只要先求出一面的個數，再乘上有這樣的幾面，就能順利地解決問題。

2．實際應用，嘗試練習

(1)練一練：跑道每圈400米，她一個星期（7天）跑了多少米？

(2)小結揭題：禮盒問題、跑步問題的相同點——兩步計算、方法多樣。

3．鞏固練習，融會貫通

(1)學生獨立思考解答：游泳問題、相冊整理問題。

(2)反饋交流重點。

游泳問題——來回的實際意義。相冊整理——多余信息的處理。

(3)小結：做完這兩道題后，你得到什么啟示？ ——解決問題時要提取有用的信息。

（三）拓展提高

1. 例題拓展：每人發一個獎品，1大箱夠不夠？

(1)出示問題：還記得課開始時的小禮盒嗎？如果老師想把這些小禮盒中的禮物送給班里的小朋友一人一個。這一大箱夠不夠？需要考慮什么問題？

(2)討論交流，條件獲取：班級人數，每個小盒子里到底裝了幾個禮物？

課件出示：每個小立方體里裝著1個。

得到結論：需2箱。30×2=60（個）。

2. 例題拓展：買2大箱禮物200元錢夠嗎？

(1)出示問題：

(2)討論交流，出示條件。

條件一：每箱90元。

條件二：每個3元。

(3)學生嘗試解答。

方法一：已知每盒90元，90×2=180（元）， 180<200。

方法二：已知每個3元，30×2×3=180（元 ） ，180<200。

(4)小結：選取的條件不同，計算方法也不同。

3. 例題拓展：如果每個小盒子里有2個喜羊羊禮物，買2大箱禮物，200元錢夠嗎？

(1)學生嘗試解答：30×2×2×3=360（元）。

(2)交流算式每一步的意義。

(3)小結：連乘解決問題不一定只有三個數相乘，我們要從問題出發，選擇合理的條件靈活解答。

回顧——“研究”生成智慧

回顧這節課的磨課歷程，從得知課題時的焦慮到初備教案時的困惑，再到完成任務時的輕松，感觸頗多，也讓筆者對這樣一類解決問題的課有了新的認識。

一、解決問題重在“材料設計”

數學學習的過程，實質上是人腦對外部數學材料接受、分析、選擇和整合的過程。教師要想選擇有效的“原料”，既要關注學生的生活實際，讓材料具有廣度，同時也要關注教學的目標體系，讓材料具有深度，兩者兼顧，才能讓教學更加有效。

通過設計一組遞進式的學習材料，引領學生主動參與、自主體驗，從而理解掌握知識、構建新的認知結構是非常重要的。通過上述教學實踐，可以發現，教師在課堂導入、新課展開、練習拓展等環節精心設計，嘗試“一材多用”，讓學生在“初步感知—探究明晰—掌握提升”的學習過程中，更加深刻地理解數學知識，從而解決問題。

二、解決問題重在“方法引領”

解決問題的過程并不僅僅是“列出算式，算出答案”的過程，它還應該是一個“習得方法，形成策略”的過程。基于這樣的想法，在教學中，教師應鼓勵學生多角度思考問題、多策略解決問題，并通過不斷地自我評價，調控和解題后的提煉、整合，從中產生解決問題的有效策略，使解決問題達到最優化。

本課的板書設計（如下圖所示），教師就結合具體的解題過程將解決問題的基本方法進行了梳理歸納，即從問題出發，合理提取有用的信息，采用多種策略解決問題。讓學生通過一節課的學習，掌握解決問題的一般方法。

三、解決問題重在“適時解構”

在教學過程中，教師在讓學生基本建立連乘問題數學模型的同時，也考慮了通過合適的材料進行解構。

首先，教師對課題進行了調整，不出現“連乘”兩字，而用“解決問題”代替。讓學生學會根據問題的需要去尋找解題策略，而不是在“課題”的引領下生搬硬套。其次，在列式的過程中，教師也特別強調讓學生結合題意分析算理，提煉基本數量關系，讓學生真正理解算式的意義。再次，本節課的練習題教師也進行了調整，如在游泳題中安排了隱含信息“來回”，在整理相冊題中安排了多余信息“3小時”，在最后的禮盒題中安排了一個“四數連乘”的問題。在系統建構的基礎上，適時解構，提升學生解決問題的能力。

數學建模是一個從實際到數學，再從數學到實際的過程。從模型得到的結論是否符合實際是模型好壞的重要標志。在教學中教師要將建構與解構巧妙結合，幫助學生正確建立數學模型。

對于一節曾經上過的公開課，教師只要勤于研究、敢于突破，一樣的“連乘”，也可以有不一樣的“精彩”！

（浙江省杭州市求是教育集團 310012）