建構數學模型凸顯應用意識

數學模型是數學基礎知識與數學實際應用之間的橋梁，是實現數學“問題解決”的重要手段。2001年秋實施的課程改革，我國首次將“數學模型”引入到義務教育階段數學課程中來，并明確指出：“義務教育階段的數學課程不僅要考慮學生自身的特點，更要遵循學生學習數學的心理規律，強調從學生已有的生活經驗出發，讓學生親身經歷將數學實際問題抽象成數學模型并進行解釋與應用的過程，進而使學生獲得對數學理解的同時，在思維能力、情感態度與價值觀等多方面得到進步與發展。”

一、數學模型的釋義

所謂數學模型，是指現實世界的某一事物系統，為了一個特定的目的，根據事物系統特有的內在規律，采用形式化的數學語言或符號，概括或近似地表達出來的一種數學結構。簡單地說，數學模型就是對實際問題的一種數學表述，是對現實原型的概括，是一種符號模型。一切數學概念、公式和算法系統、數學理論體系等都可以稱為數學模型。如數學中的數與式、方程與函數等都是研究數量關系和變化規律的數學模型。

數學學習的過程實質上就是一個建立數學模型的過程，即數學建模的過程。小學階段的數學建模通常是從實際生活原型或提供的實際背景出發，充分運用觀察、實驗、操作、比較、分析、概括等思維方式，去掉非本質的東西，用數學語言或數學符號表述出數學模型，再運用數學模型解決一些實際問題。簡單地說，就是將當前的問題轉化為數學模型，然后用數學的方法去求解。

二、數學模型的建立

數學建模的建立過程大致如圖1。

在具體的教學實踐中，我們根據學生的認知規律、年齡特點和教學內容的特征，遵照“問題情境一建立模型—解釋、應用與拓展”的基本步驟，構建了數學建模的基本思路：創設問題情境—建模準備，研究解決問題—建立模型，解釋應用拓展一應用模型。下面以“用乘加、乘減解決問題”為例說明。

1.創設問題情境——建模準備

這是建立數學模型的必要階段。數學源于生活，寓于生活，且用于生活。一方面，數學模型是關于現實世界的一個抽象的、簡化的數學結構。另一方面，建立數學模型的目的是為了科學、有效地描述自然現象和社會現象，進而解決實際問題。因此，任何數學模型的建立都需要有具體的現實情景。教師應創造學生比較熟悉，或親身經歷的含有數學問題的現實情景，使學生在了解數學問題實際背景的基礎上，搜集處理各種信息，發現、提出數學問題，為建立數學模型做好準備。

在講本節課時，我們可以從學生喜歡的假日旅游入手，呈現學生非常熟悉的旅游情景(如圖2)，并根據情境中的數學信息，引導學生發現并提出簡單的實際問題：旅游團每9人一組，已經分成了4組，還剩5人。這個旅游團一共有多少人?

從學生熟悉的生活實例人手創設問題隋境，就會達到預期的教學效果。一是激發學生的數學學習興趣，讓學生積極主動地投入到探究學習活動中來；二是借助學生已有的生活經驗和認知基礎，搜集整理數學信息，發現并提出數學問題，為建立數學模型做好準備；三是引導學生學會用數學的眼光觀察生活，感受到生活中處處有數學，數學能幫助人們解決許多簡單的實際問題，使他們體驗到數學的意義和價值。

2.研究解決問題——建立模型

這是建立數學模型的關鍵階段。教師根據建模對象的特征和建模的目的，引導學生對實際數學問題或現實情景進行觀察、比較、分析、抽象、概括，并運用形式化的數學語言表達出數學概念，或用數學符號刻畫出一種數學結構，從而建立數學模型。教學這節課時，此環節可以進行如下設計。

首先，運用數學手段，分析數量關系——將抽象的文本信息轉化為直觀的圖形信息。

師：根據圖片情景及有關文字，你認為哪些信息可以幫助我們解決“旅游團一共有多少人”這一問題?

生：導游在分組時告訴我們：“9人一組，已經分好了4組，還剩5人”。

師：這個旅游團的分組情況還真是復雜!“9人一組，已經分好了4組，還剩5人，”是什么意思呢?你們能像以前那樣，用擺學具、畫圖畫等辦法很直觀地表示出這些話的意思嗎?比比看誰的方法讓大家一眼就看明白。

方法一：用擺學具的方法梳理信息。

分析數量關系是解決問題的關鍵。活動中，學生借助已有的活動經驗和認知基礎，用自己喜歡的方法對情景中的相關信息加以梳理，并將抽象難懂的文本信息轉化為形象易懂的圖畫、圖表信息，幫助學生理清信息之間的關系，架構起信息與信息之間、信息與問題之間的內在聯系，為有效解決問題，構建“乘加”模型，理清了思路，積累了方法、策略和活動經驗。

其次，根據數量關系，理清解題思路，探索計算方法，建構數學模型。

師：明白了這些信息之間的內在聯系，怎樣解決“這個旅游團一共有多少人”這一問題呢?

學生獨立計算，教師巡視指導，同桌交流一下各自的算法和想法。最后，全班交流匯報。匯報中，及時組織同學們質疑、評價和補充、修改算法。

生1：要得出這個旅游團一共有多少人，只要把5個小組的人數加起來就可以。所以，我列的算式是：9+9+9+9+5=41(人)。

生2：列連加算式太麻煩，因為前4個組，每組都是9人，算4個9直接用乘法算9×4=36人，再用36加上最后剩下的5人，36+5=41人。

生3：我列的算式是“9×4+5=41(人)”。從圖中可以看出，用前四個小組的4個9人加上剩下的5人就是旅游團一共的人數。

生4：我列的算式是“9×5-4=41(人)”。假設這五個組，每組都是9人，5個9人就是“9×5=45”人，最后再減去缺少的4人，也能算出旅游團一共的人數。

再次，借助直觀圖形，分析算法異同，及時抽象概括，促成模型建立。

此環節是學生在理清數量關系，明確解題思路，探得計算方法的基礎上，建構起了乘加和乘減問題的數學模型。同時，由教師引領學生提煉出乘加、乘減模型背后所蘊含的結構性知識，即求幾個幾多幾和求幾個幾少幾，使學生對新建立起來的乘加和乘減模型有著更加深刻的認識，即在一個加法算式中，部分加數相同，個別加數不同，可以把相同部分用乘法算，不同部分再做加減。

最后，回顧解題思路，探討計算方法，求得數學模型的解及實際問題的答案。

師：想一想，解決“旅游團一共有多少人”應先算什么，再算什么?

生：先算前四個組一共有多少人，再算旅游團一共有多少人。

師：計算“9×4+5”、“5+9×4”和“9×5-4”等乘加、乘減混合運算時，應先算什么?后算什么?

學生從中體會乘加、乘減混合運算的計算順序，最后教師結合直觀圖講解。

計算旅游團共有多少人，應算前4個組有多少人，后算旅游團一共有多少人，所以先算9×4=36人，再算36+5=41人；也可以先算5個組有多少人，后算旅游團一共有多少人，所以先算9×5=45人，再算45-4=41人。教師邊講解邊把板書補充完整。

經過匕述活動，學生順利完成‘懈決問題”的過程，親身經歷了“數學模型”的建立過程。在解決“旅游團人數”這一現實問題，通過擺學具、畫圖形、列圖表等直觀化手段和分析、綜合、歸納、概括等抽象化手段，理清數量之間的關系，明確解決問題的思路，并用抽象的數學形式“9×4+5”、“9×5-4，’表示出來。回顧解決問題的思路，弄清“9×4+5”、“9×5-4”的計算順序，掌握“9×4+5”、“9×5-4，’的計算方法，進而求得“9×4+5”、“9×5-4”這一模型的解及實際問題“旅游團人數”的答案。在解決問題的過程中，學生不僅理解和掌握了乘加、乘減混合運算的結構特點和計算方法，更積淀了解決乘加、乘減問題的分析思路與解題策略，使學生獲得了終身受益的、可持續發展的學習能力。

三、解釋應用拓展——應用模型

建立數學模型的目的是更好的描述自然現象和社會現象，從而幫助人們更好地去認識、改造自然和社會。通過建立數學模型可以教給學生一些數學思想方法，為將來的社會實踐打下堅實的基礎。因此，教師應對所建立的數學模型進行合理的解釋、應用，使所建立的數學模型在學生的頭腦中更具有生命活力。

首先，進行專項練習，鞏固新知。

(先計算，然后說說先算什么，后算什么?)

進入景區后，游客們分成兩路：有的乘纜車觀光，有的劃船游玩。

①乘纜車觀光：現有4輛纜車，每輛限坐5人。

有24名游客排隊，等候乘纜車觀光。

問題：還剩幾名游客需乘坐下輛纜車?

②劃船游玩：租了大船1條，每條租金12元，可坐8人。

租了小船3條，每條租金5元，每條可坐3人。

問題：劃船游玩的一共多少人?

你還能提出什么問題?

最后，拓展應用，體驗價值。聯系生活實際，用“4×5+3”編一個數學故事。

學習的價值在于應用，學生在生活化的內容，數學化的探索中獲得的知識、方法、經驗等，只有在解釋和應用于生活中時，才能煥發出數學的魅力和價值。因此，教師設計專項練習、基本練習和拓展應用三個層次進行鞏固訓練，恰當處理技能訓練和解決問題的關系，對提升學生綜合運用知識解決問題的能力，發展學生的數學應用意識會起到很好的作用。

綜上可知，數學學習的過程既是解決問題的過程，也是建立數學模型的過程。也就是把數學學習的內容放在現實有趣的問題隋景里，引導學生親身經歷“問題情景—建立模型一解釋、應用和拓展”的過程，經歷“提出問題—分析問題—解決問題”的過程，經歷“整理數學信息—分析數量關系N式計算求解”的過程，經歷“來源于生活—提升為數學—應用于實際”的過程。其教學過程可以用圖3表示。

學生運用了觀察與操作、分析與對比、抽象與概括等思維方式，親身經歷了將現實問題抽象為數學問題，將生活原型轉化為數學模型的過程。這一過程使學生積累了將現實問題“數學化”的經驗，感受到了數學模型的思想、方法及價值；使學生的抽象思維能力和符號感獲得發展，數學應用意識和應用數學解決實際問題的能力得到提升。