專業.專家.專題.專門

近年來，我聽了不少關于“用字母表示數”的公開課、觀摩課以及教研課（包括網上教研），發現有些教師對“用字母表示數”意義與理解水平的把握有較大的偏差和缺失。為了改變現狀，我自2006年下半年以來，對“用字母表示數”意義與理解水平進行“以專業的視角作剖析，用專家的觀點細解讀，依專題的研討來實踐，按專門的理論鑒效果”的具體解讀和實踐，收到了較好的效果。

一、以專業的視角作剖析，偏差較大

無論在校際教研課，還是去參加省（市）以及全國級的觀摩課，我們不難發現，所有“用字母表示數”的課的內容和結構大同小異，唯有對意義與理解水平的把握偏差較大。請看以下兩個案例。

案例（一）：意義引入時有畫蛇添足、舍近求遠之勢頭

其一，上課伊始，教師隨即拋出了以下習題。

第一幅圖的字母表示_____________。

第二幅圖的字母表示_____________。

第三幅圖的字母表示_____________。

其二，很多教師在課的最后引入一首熟悉的兒歌，出示“數青蛙”：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……大多數學生對第一句沒有異議，對第二句有的說是“2ɑ只眼睛”，有的說是“ɑ2條腿”……

點評：對其一，我認為，課堂教學由熱烈的討論轉變為激烈的爭論，可以說是眾說紛紜，時間花去了近10分鐘，表面上熱熱鬧鬧好像與生活接軌，實際上與“用字母表示數”全然無關。大家都知道，CCTV是中國中央電視臺的英文縮寫，車牌“浙A”表示浙江杭州地區，只有撲克牌中的J可以表示自然數中的11（勉強可以，撲克牌J其實也是英文JACK的縮寫），案例中教師真可謂在教材的處理上有畫蛇添足之勢頭。對其二，我認為多數教師為了追求時尚和新意，丟開了數學課本本質的東西，在長方形和正方形周長公式中不就有2ɑ+2b與4ɑ這樣的教學內容嗎？但教師總不愿意采用，寧可舍近求遠，效果卻適得其反。

案例（二）：理解層次有要求整齊劃一、生搬硬套之感覺

在理解應用時，教師安排了“猜老師和同學的年齡”這個環節。

師（板書“ɑ”）：猜一猜，ɑ是老師的年齡，還是同學的年齡？（全班學生鴉雀無聲）

師（板書“ɑ+20”）：請同學們猜猜ɑ表示什么？ɑ+20表示什么？

生1：ɑ表示我們的年齡，ɑ+20表示老師的年齡。

生2：ɑ也可以表示老師的年齡，那么我們的年齡是ɑ-20。

點評：教師全然不顧這部分“另有想法”的學生和不同理解水平的學生，對學生只作整齊劃一的講解，使部分學生特不服氣。因此，這個環節給我一種要求整齊劃一、生搬硬套的感覺。

二、 用專家的觀點細解讀，內涵豐富

1.用“用字母表示數”的意義解讀。

“用字母表示數”屬于概念性知識，從數學發展史的視角來看，它的教學無疑要關注以下三點：一是要尋找承載“用字母表示數”的本質意義并使意義有直觀認識的教學模型；二是引發學生對數量間的關系進行抽象概括的情感需求；三是應該順應學生的認識規律，即抽象認識源于直觀模型的心理程序。結合我的教學經驗，在教學實踐中，我對“用字母表示數”的意義歸納為以下四點：其一，把字母當作一個特定且未知的數；其二，字母可以代表幾個數或一批數；其三，可以把字母當作變量；其四，還可以用字母表示數量關系。

2.對“用字母表示數”的理解水平的解讀。

長期的教學實踐和經驗告訴我們，學生的理解水平不是由教師的教學期望所決定，而是由學生的數學現實、認知能力和數學學科的本質所決定的。我認為根據學生對字母表示數意義的理解程度，可把理解水平劃分為四級：第一級水平——了解，對字母表示數的意義達到感性的、初步的認識；第二級水平——理解，對字母表示數的意義達到理性的、能比較差異的層次；第三級水平——掌握，對字母表示數的意義在理解的基礎上達到能舉例、能解決一般問題的技能；第四級水平——靈活運用，對字母表示數的意義能綜合其他知識靈活運用，且形成能力。

三、 依專題的研討來實踐，“研”有方向

數學教育經驗告訴我們，概念教學要堅持三性：一是數學性；二是自然性；三是知識形成方法的可重復性。遵照以上三性，遵循學生的心理認知發展規律，我在“用字母表示數”的教學設計中，把教學內容與課堂教學結構相匹配，以經典的事例改編教材的主要內容。在設計教案時，我既利用人教版教材中的特點，也吸取北師大等版本教材中的優點，收到了較好的效果。

板塊（一）：實例導入——探究規律，初步體驗意義

1.想象用小棒擺正三角形，尋找三角形個數與小棒根數之間的聯系。

（1） 出示一根小棒，想象用同樣的小棒如何擺一個三角形。

（2） 依次回答擺1個、2個、3個、4個、5個三角形需要小棒的數量。

（3） 尋找三角形個數與小棒根數之間的規律。

2.嘗試用簡明、概括的方法在一個括號里分別表示所有的三角形個數與小棒根數，通過信息反饋，得出用字母表示是一種相對簡明、概括的方法。

（1） 教師給學生每人發一張如下的小紙條。

師：嘗試用一種既相對簡明又非常概括的方法把所有三角形的個數都寫出來，同樣用這種方法把相應的所有小棒根數也表示出來，而且還讓人知道它們之間的關系（3倍）。拿出一張小紙條，怎么想就怎么寫。（學生信息反饋環節略）

（2） 引出課題，體驗用字母表示數的優點。

師：通過簡短的分析，我們找到了一種新的方法，是什么？（用字母表示數）其實，這就是今天這節課我們重點來研究的內容。（板書課題：用字母表示數）

師：再回頭看這種方法，一旦我們知道了三角形的個數，根據這種表達方式，我們能不能很快確定小棒的根數？22個、1000個三角形呢？

師：你覺得你們找到的這種方法好不好，好在哪里？

設計意圖：課堂導入通過找數的規律，讓學生嘗試簡明、概括地表示數，并對思路進行分析，使學生在不知不覺中自覺地用字母來表示數，初步體驗用字母表示數的意義與作用。

板塊（二）：本質學習——應用范例，理解實際意義

1．猜猜年齡。

（1）猜父女年齡。

（2）出示下面兩個式子猜師生年齡：ɑ+20，ɑ-20。（學生分小組討論）

2．猜正方形的周長公式。

師（貼一個正方形，板書“C=ɑ×4”）：猜一猜，這個式子里的字母分別表示正方形的什么？

師：憑你的經驗，ɑ在這表示任意一個正方形的邊長時可以是哪些數？（任何數）

師：你看，同樣一個ɑ在表示年齡的時候與表示正方形邊長的時候，表示數的范圍一樣嗎？

設計意圖：這個環節我們安排了兩個猜測，一是猜年齡，讓學生明白字母在不同的情境下，表示數的范圍是不一樣的。另一個猜測是與導入互為辯證的過程，導入是從數到字母，這里是先有字母式子，反過來讓學生用具體的數來解釋字母式子表示的意義。我們想通過這種方式去不斷詮釋“用字母表示數”這個概念的內涵。

板塊（三）：反饋訓練——開放練習，詮釋概念內涵

1．開放性練習，根據ɑ×4與書本圖片說明ɑ×4表示的意義。

（出示ɑ×4，再出示4本書的圖片，如下圖）

師：ɑ×4只能表示正方形的周長嗎？誰能說清楚這里的ɑ表示什么？ɑ×4又表示什么？

2.兒歌。

（1）出示（數青蛙）：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿……

（2）學生一邊拍手，一邊唱。

（3）理清青蛙的眼睛與只數、腿與只數的關系。

（4）照這樣唱，唱得完嗎？學習這一課后，你能用簡明、概括的方法，用一句話把它唱完嗎？

出示：（ ）只青蛙（ ）張嘴，（ ）只眼睛（ ）條腿。

（5）學生信息反饋。（略）

設計意圖：在這個環節中，我安排了三個練習。首先讓學生開放性地說一說ɑ×4的意義，突出字母作為一種符號的意義，它不代表一種具體的數量。然后再從這里引出“用字母表示數”的歷史，把數學史的介紹安排在具體的情景中，讓學生再次體會用字母表示數的發展史。最后，兒歌的規律用字母表示是有一定難度的，但是從學生的反饋來看，大部分學生已經能用正確的方法來表示。

板塊（四）：互動總結——自我反思，提升理解水平

1.組織學生學習以下改編后的兒歌。

1張課桌1個面，2人可坐有4條腿；2張課桌2個面，4人可坐有8條腿；3張課桌3個面，6人可坐有12條腿……

2．教師提問。

（1）我們全班有42個學生，你能立即算出有幾張課桌、幾個桌面和幾條桌腿嗎？

生：有21張課桌21個面，42人可坐有84條腿。

（2）全校有ɑ個同學，要多少張課桌，有幾條腿？

生：ɑ÷2。

……

設計意圖：本環節旨在讓學生親歷事例，感悟意義，提升理解層次。本教案的設計和實施依據學生已有的生活經驗，對“用字母表示數”意義與理解水平已有一種潛在的直觀認識和理解。因此，在課的最后把教室的桌、人等作為終極目標，從實際生活場景中提煉出數學問題，使學生的學習進入一目了然的自然狀態，感悟到實在的意義。

以上教案和實施的全過程可以概括為兩條線：一是明線，具體問題→數學概念→強化應用→小結反思；二是暗線，自我領悟→抽象領會→抽象領悟→形成概念。

四、按專門的理論鑒效果，收獲豐厚

1．理論依據。

對于這個問題，英國CSMS研究小組進行了卓有成效的研究，他們撰寫的《孩子們的數學理解（11—16歲）》一書中的第八章就“用字母表示數”的理解水平的研究成果進行了闡述。他們主要選取了兩個標準作為測驗孩子理解水平的內容，這兩個標準是字母賦予的意義與題目結構的復雜性，并根據結構的復雜性和量的性質把題目劃分為四種理解水平，同時得到了印證。

2．實踐意義。

“用字母表示數”是小學生系統學習代數知識的第一課，且是代數知識中最基礎、最重要的概念之一。我們知道，代數中的字母可以賦予許多不同的意義，因此，學生對“用字母表示數”意義的理解就有不同的層次和水平。這種層次和水平的高低對學生后續學習數學與進一步發展創造具有不可低估的作用。

3．具體效果。

經過對重組后的教材進行試教（最后一次試教的課堂實錄），學生在以下方面有了提高。

（1）充分地體驗“用字母表示數”的優點。

先前教學中，按照人教版教材的編排，以教學用字母表示特定的數、定律、公式為主要內容，內容簡單、枯燥，學生學習沒有激情。這次教學從用字母表示數量關系入手，讓學生自主探究，主動用字母表示數量關系中的變量，體會字母表示數的抽象性、概括性，并回顧用字母表示定律、公式的過程，體驗字母表示數的簡明性、易記性。在最后環節，大部分學生都能用字母正確地表示出青蛙只數與嘴、眼睛、腿之間的關系，說明學生已經比較好地掌握了用字母表示數量關系的知識。

（2）有效地激發了學生的學習興趣。

先前教學中，我通過乘法交換律引出字母與字母之間的乘號可以省略，再通過正方形的周長和面積公式引出字母與數字相乘時的書寫規則和平方數的意義、讀寫法，按部就班，一環接一環，整整花了半節課的時間講清其中的要點。這一次，從找小棒與三角形之間的規律入手，嘗試用不同方法表示它們的關系，讓學生在不自覺中運用字母來表示數。接著通過兩個猜謎的游戲來詮釋字母表示數的內涵，開放性地解釋ɑ×4表示的意義，自然地進行用字母表示數的歷史意義的滲透，最后通過一首兒歌來加以提升。這些環節層層銜接，生動有趣，極大地激發了學生學習的興趣。

（3）成功地培養了學生良好的學習行為和習慣。

課堂教學研究了學情，分析和掌握了學情，不僅使學生學會了知識基礎，而且使學生的態度、習慣和能力得到了提升。其實，這在平時作業、學生訪談、課前測試、調查等都能適時應用。如圖形知識中要了解學生的動手能力，概念性知識要知道學生的生活經驗，簡便計算中要了解學生對數的感覺情況等等。

總之，多年的實踐使我感悟到，只有認真研讀教材，挖掘教材的深層價值，才能創造性地使用教材；只有做到對學生的認知水平心中有數，才能提高教學效率。

（責編 杜 華）