空框在高中數學教學中的教育價值

高度的抽象性與概括性，是數學學科的重要特性之一。數學符號是數學抽象與概括的結晶，是體現這一特性的主要方式，空框又是數學字母符號的一個本源。新課標小學數學教材從一年級就開始用“□”或“（）”代替變量x、y，讓學生在其中填數。如，6+（）=8，□+□=6等等，這為后來用字母表示變量與數的數學符號化思想奠定了基礎。在高中數學教學中，空框具有很高的教育價值：一方面是返璞歸真，揭示數學公式或代數式中的字母的本質（這正是《普通高中數學課程標準（實驗）》提出的教學要求）。實際上任何一個數學公式或代數式中的字母，本質就是一個或若干個空框，空框有臨界點，而沒有飽和點。把一個數學公式或代數式中的字母視為空框，體現了其字母具有可變性。另一方面，從視覺心理角度來看，一是把一個復雜的代數式用空框框起來，有化“繁”為“簡”的視覺效果，這是代數換元的本源；二是把數學公式或代數式中字母抽去改為空框，既可凸顯數學公式或代數式的結構特征，也可形象直觀地顯示字母的取值范圍。

本文結合案例，談談筆者對“空框”在高中數學教學中的教育價值的認識與感悟。

一、揭示數學代數式或公式中字母的本質

案例1：（2006年安徽理科高考題第20題）已知函數f（x）在R上有定義，對任意實數a>0和任意實數x，都有f（ax）＝af（x）。

（1）證明f（0）＝0；

（2）證明f（x）＝kx x≥0hx x<0，其中k和h均為常數；

（3）當（2）中的k>0時，設g（x）＝+f（x） （x>0），討論g（x）在（0，＋∞）內的單調性并求極值。

分析：其中第（2）小題考查的是對于數學式中字母概念的深刻理解和創新意識。不少考生受定勢思維的束縛和對數學式中字母的可變性認識不足，感到一籌莫展。其實f（ax）=af（x）中字母用空框替代，可以凸顯代數式的本質：f（（））?[ ]）=（）f（[ ]），“（ ）”與“[ ]”可分別裝進大于0的數和任意實數。為了得到x>0時的f（x）解析式，可在（）”與“[ ]”內分別裝進“x”與“1”，則得到。f（x）=f（x）=xf（1）問題便迎刃而解。

案例2：已知兩條直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0都過A（1，2）點，求過兩點P1（a1，b1）和P2（a2，b2）的直線方程。（蘇教版必修2習題）

分析：將點坐標代人兩直線方程，得a1+2b1+1=0…（1）a2+2b2+1=0…（2）將（a1，b1）與（a2，b2）抽出后，這樣（1）與（2）結構的本質特征就顯示為△+2□+1=0，再將“△”、“[ ] ”分別裝進“x”、“y”，即得x+2y+1=0。（P1（a1，b1）和（a2，b2）坐標滿足這個方程）

評述：數學代數式或公式中的字母只是一個符號，本質是一個空框，可以填充（或替換）符合條件的任意數、字母與代數式。把其中的字母抽去改為空框結構，就抽去了數學代數式或公式的非本質特征，既給學生提供了聯想的空間，又生動形象地揭示了數學公式或代數式的本質：字母的可變性與結構的穩定性。

二、化“繁”為“簡”，由“簡”生“繁”

案例3：2010年高考山東卷理科數學第17題第（Ⅱ）小題中“……求函數g（x）在[0，]上的最大值和最小值”。求得g（x）=sin（４x+）后，把“４x+”框成一個□，問題轉化成求“sin□”的最值，可進一步轉化為求“sin□”的最值。由x∈[0，]，得□=4x+∈[，]，這樣就把一個復雜的正弦型函數最值問題轉化為簡單的正弦函數最值問題了。

評述：這里的□（不必畫出）本質是代數換元。把一個復雜的代數式用空框框起來，填上一個字母，化歸為熟悉的問題后，再還原成原來的代數式，則產生化“‘繁’為‘簡’，由‘簡’生‘繁’”的效果，這是代數換元的本源，體現了化歸與轉化的數學思想。

案例4：2009年高考廣東卷理科數學第21題第（Ⅱ）小題右邊一個不等式

評述：這里的“□”既有換元的效果，又有存貯與周轉的效果。

三、凸顯代數式結構特征，形象直觀顯示字母取值范圍

案例5：已知f（+1）=2x-1，求f（x）表達式。

分析：函數f（x）解析式的本質是自變量x的對應法則“f”：即輸入自變量x，按照對應法則“f”，輸出一個關于x的代數式，這個代數式就是函數f（x）解析式。其中“f”決定了代數式的結構特征，這是函數解析式本質特征，而x則是函數解析式的非本質特征。我們在教學中把這個非本質特征替換成空框，則可使代數式的結構特征得以凸顯。如，對于函數f（x）=，若把自變量x替換成□，則為f（□）=，即輸入□，輸出“”；“□”可以裝入實數，也可以裝入代數式。

此題本質是要求f（□）關于□的代數式，為此先將+1看成□。因為f（+1）=2x-1=2（+1）2-4（-1）+1，所以f（□）=2×□2-4×□+1，又“□”表示+1，即“□≥1”，故f（x）=2x2-4x+1（x≥1）。這就得到求函數式的方法之一：配湊法。但此函數式“配湊”難度較大，如果將“□”看成變量t，即要求f（t）關于t的代數式，因為這里t=+1≥1，所以x=（t-1）2，將原式右邊的x替換為（t-1）2即可。這就得到求函數式方法之二：換元法。

評述：函數概念的理解歷來是學生學習數學的一個難點，其難點之一是對函數f（x）解析式的理解。借助空框是突破這一難點的有效手段。通過此題分析，可以看出求函數式這兩種常用方法（換元法與配湊法）的生成過程，以及它們之間的緊密聯系。

數學代數式或公式是由字母和結構兩部分組成的，從視覺心理學角度來看，為凸顯其結構特征，可把字母抽去改為空框。如同古希臘雕塑為突出人物的形體，用凹坑替代了眼睛。這里的結構類似“形體”，字母類似“眼睛”；用□替代了字母，就突出了結構，這里也就凸顯了函數解析式的本質。

案例6：已知函數f（2x-1）的定義域是[1，2]，則函數f（x）的定義域是_____；函數f（x+1）的定義域是______。

分析：函數的定義域是自變量的取值范圍。這涉及兩個要素：一是自變量是什么？二是自變量的范圍是什么？對于函數f[g（x）]，學生往往誤以為自變量是g（x）而不是x。這只要以一個具體函數為例，學生是容易弄明白的，難點是對函數f[g（x）]與f（x）的自變量范圍之間關系的理解與確定。為突破這一難點，我們把函數f（x）中的x替換成空框得到f（□），讓“□”分別裝進g（x）與x，則分別得到函數f[g（x）]與f（x），雖然“□”中裝進的東西不同，但“□”占有的空間（即“□”的取值范圍）是不變的，即g（x）與x的范圍是相同的。這樣難點就得到有效地突破。

這里f（2x-1）、f（x）、f（x+1）的自變量都是x，其定義域是x的取值范圍；將f（2x-1）中“2x-1”、f（x）中“x”、f（x+1）中“x+1”都用“□”框起來后，可知它們“所占空間大小”相同，因而取值范圍一致。由已知得1≤2x-1≤3，從而f（x）中“x”、f（x+1）中“x+1”取值范圍都為[1，3]，則可得解。

評述：學生理解函數概念的難點之二是關于函數與定義域之間關系的理解與確定。借助空框可使這一難點得到有效突破。

空框有“形”，“形”則占有空間。為形象直觀地顯示字母取值范圍，可把字母改為空框，轉化為空框占有空間的大小。空框既有“無”（即“空”）的一面，也有“有”的一面。在這里的“有”，體現了“有邊界”、“有范圍”。

新課程實施以來，大多數教師的教學理念得到了更新，教學方式得到了很大改善，這是可喜的進步；但深入到具體的教學內容細節，流于膚淺和表面化現象還較為嚴重。筆者曾作為評委，聽了一些中學數學骨干教師的教學競賽課和申報特級教師的考評課，這些教師的教學理念、教學方式不可謂不先進，但總感到缺失點什么（普通的中學數學教師缺失就更多了）。問題突出表現之一是，對數學問題本質缺乏深刻的揭示，如隔靴搔癢，不深不透。對于數學教學來說，為使學生能夠更好地理解教學內容，更好地理解和把握數學問題的本質，除了先進的教學理念和教學方式外，還必須要思考這樣的問題：如何站在系統的高度，進行教學法加工，使教學內容轉化為易于認知的“教育形態”，并使學生產生強烈的印象。這就需要教師對教學內容中數學問題本質的深刻理解與揭示。

由上可見，“空框”在高中數學教學中具有很高的教育價值，它能深刻揭示數學問題的本質，產生很好的教學效果。那么對于高中數學教學中一些常見的問題，如果我們能深刻理解其本質，仔細琢磨其教育的形態，我們的教學就會化膚淺為深刻、化枯燥為生動，數學問題的本質就會得到深刻的揭示，教學難點就能得到有效地突破。這是我們教師備課非常重要的著力點。

參考文獻

[1] 盧江，楊剛．人教版《義務教育課程標準實驗教科書數學（一年級上冊）》．北京：人民教育出版社，2008．

[2] 中華人民共和國教育部．《普通高中數學課程標準（實驗）》．北京：人民教育出版社，2003．

[3] 單墫等.蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書（必修2）》．南京：江蘇教育出版社，2005.

（責任編輯 劉永慶)