例談小學數學錯例輔導

在數學教學中，我們的理解有時不夠全面，我們總是讓學生知道“這樣是對的”，并且努力讓學生明白為什么這樣是對的。但如果我們只認識對的，或者總是用對的去否定錯的，而不能分析錯在哪里，那并不是對知識的全面理解。

一、 一次檢測呈現的問題

某年小學生畢業考試有一道題：

小A上山平均每小時行20千米，原路返回下山平均每小時行30千米，這一趟他平均每小時行多少千米？

=25（千米）這樣解題的學生高達95%以上。

教師這樣講解：求平均速度需要用總路程除以總時間。這里可以假設上山總路程為60千米，那么上山時間為60÷20=3小時，下山時間為60÷30=2小時，總時間為2+3=5小時，總路程為60+60=120千米，所以，這一趟的平均速度是120÷（2+3）=24千米。我們也可以把上山一趟看作單位“1”，那么上山時間為，同理下山時間為，那么平均速度為（1+1）÷（+）=24千米，整個講解還配合了畫圖理解，可謂明明白白。

對于教師來說是講清楚了，但是整個講解始終在說明應該怎樣去做，怎樣是對的，并沒有說明=25（千米），錯在哪里？教師教得清楚，但學生學的困惑也由此產生：為什么不能用平均數相加除以個數的方法？為什么要假設60，假設單位“1”？這兩個問題沒解決，任何的訂正都是治標不治本，錯的還將繼續錯。

對兒童思維水平的研究發現，他們不容易把握事物的本質，容易被一些形式的東西所影響。在上題中，學生把“移多補少”、“先合再分”當成理解平均數的一種直觀形式，并把這種直觀形式簡單地移植到其他求平均數的問題中去。那么如何破解這個問題？我想最好的辦法莫過于引導學生進行思辨。如（20+30）÷2=25（千米），20+30可以表示什么意思？一次1小時平均每小時行20千米，一次1小時平均每小時行30千米，除以2，說明共行了2小時（上山1小時，下山1小時），那么這樣看來，上山只行了20千米，下山行了30千米，路程不一樣，這與題目中原路返回的意思相矛盾。只有明白了錯誤的原因以后再去研究正確的解答，才會打消學生心頭的疑慮，從而有效地接納教師后續的指導。

二、 在常態教學中的一些例證思考

在常態教學中，我們不必回避學生的錯誤。相反地，要把學生的錯解當成可利用的教學資源，通過分析錯因，讓學生錯得明明白白，以利于他們形成正確知識的有效建構。這個過程好比是一個人得了病，體內產生了病毒，要尋求治療。錯因好比是病毒，講解正確解答思路好比是給人體進補，我們治病的過程最好是先給他“祛除毒病”而不是先“進補”。但是，我們很多時候為了講效率，抓進度，往往一味地給學生“進補”，學生則常做常錯。倘若學生明確了錯誤之所在，并且還善于分析為什么錯的道理，那么從一定程度上講，他已經產生了某些抗體。當然，有些錯因很明顯，很直接，沒有多少思維含量：比如把數字看錯了，教師只需要做些提醒；有些是根本不懂題目意思瞎蒙一通，教師要像上新課那樣對其進行點撥或教給他正確的思路。需要分析錯因、深入究錯的對象是那些似懂非懂的問題，教師要善于找出學生思維中的合理成份，針對錯誤表現，讓學生說明出錯的原因。

其實，從學生數學學習的過程來看，學生也需要有錯因分析。以筆者記錄自己教學中的實例為證：

某日，一女生拿著作業本（見下圖）找到我，很疑惑地對我說：“老師，我這樣做哪里錯了？”

師：你是怎么想的？（學生把思路講述了一遍。）

師：為什么想到左右兩邊要乘以？

生：因為左邊是除以，那么只要乘以就可以抵消掉了。

師：你是先算哪一步？

生：先算后面的乘法，哪里不對了？

師：那么如果是6÷4×4你覺得要先算哪一步？

生：噢，我懂了，我是把計算順序弄錯了。

師：你知道為什么不能先算4×4了嗎？

生：知道了。（學生開心地離開了。）

在這個過程中，我們不難看出，學生有究錯的意識。在日常教學中，可能是出于某種原因（或意志力不強，學生不能持續這種意識，或生性膽小，不敢與人交流）學生主動問詢老師的情況并不十分普遍。所以，如果有學生對學習有疑問，并能勇敢地提出來，不管提得是對是錯，教師首先得肯定他們的這種勇氣，這是對學生獨立思考結果的一種尊重與呵護。然后，教師開始引導學生一步一步地分析條件，查找錯因，直至學生真正明了。再看整個過程，如果只是簡單地以“改對了”去衡量學生的認知，那就會存在一些變數（有些學生用算式中各部分之間的關系進行訂正），那么他們就很難發現“計算順序”這一問題的真正癥結。如果知道了問題的癥結，我們再設計對比練習，效果會更好。

還有一個例子：學校的美術興趣組有70人，美術興趣組的人數比音樂興趣組的人數多25%。音樂興趣組有多少人？學生列式：70×（1－25%）

在分析中，學生提出這樣是不對的，這道題目應該是70÷（1＋25%）＝56人，這里先看標準量，音樂興趣組是單位“1”的量，單位“1”不知道，用除法，比它多25%，所以要1+25%。這時教師問解錯的學生，而他只是似懂非懂地點點頭。教師講道：剛才的同學只解釋了70÷（1＋25%）正確的理由，還沒有指出70×（1－25%）錯誤的原因。誰會？有學生發言：如果照70×（1－25%）算的話，算出來的人數會有小數了，有半個人了。我們知道，如果用這種方式來判斷解題的正誤，那顯然是站不住腳的。此時，我覺得若想真正解釋錯因，恐怕得讓他們好好思考幾分鐘。經過討論后，學生終于明白：我們已經知道美術興趣組的人數比音樂興趣組的人數多25%，通過畫圖，倒過來說音樂興趣小組人數比美術組的人數少20%，相當于美術組的80%，而70×（1－25%）＝70×75%，意思就變成了音樂小組人數等于美術小組人數的75%，所以錯了。

在講解的過程中，講的人自信堅定，聽的人神情專注。通過對錯因的深究，學生的思維顯得嚴謹而有條理，他們的面部神情由迷茫轉為了釋然，講解的同學更是有些洋洋得意。連帶著，學生還發現了另一種解答，音樂組的人數等于70×80%，大家都表示理解。在本題中，解錯的學生顯然不是由于粗心，而是對知識的不理解，通過錯因分析則可以較好地幫他補上一課。所以筆者以為錯因分析還至少有兩種價值：一是知識學習上的深入，他可以提高優等生的思維水平（通常是指論證水平，因為一般的錯因總是與實際的規則相矛盾），同時教師可以根據學生思維的展現，查證學生的理解缺陷，從而改進教學方法，有效幫助后進生理解學習內容，跟上教學進程。二是思想意識的進步，因為追根究底的學習習慣可以培養學生一種質疑問難的學習品質，而這正是數學學習最寶貴的精神。

三、 穩步推進的一些做法與成效

對于一線教師來講，如何有效地讓學生“知其錯，更知其所以錯”呢？筆者根據自己的教學實踐得出幾條路子，謹供探討：首先，對于錯誤率高的題目，教師組織全體學生進行分析討論，指出：錯在什么地方，為什么錯？這樣做整體推進效果較好，但也存在一定的問題，那就是不容易把握每個學生的具體情況。其次，建立作業訂正本，摘錄出錯練習，用記號的形式表現出錯誤的地方，同時寫出錯誤原因。這樣做可以保證學生都有自己的思考，但也有學生不樂意做，覺得抄題目費時費力，所以教師要加強這方面的引導，幫助學生明確這樣做的意義與價值。最后，一對一個別輔導，這主要對中下生，讓他說思路，或教給他思路，同時很重要的一點，教師要幫助他明確：如果照他那樣解答，是一種什么意思，會是一種什么結果。

以上的做法在筆者自己的班級里，經過一段時間的教學強化以后，有些學生的意識確實發生了可喜的變化。幾則學生的數學日記很好地反映了這個情況。

日記一：

……漸漸地，我們發現了這樣做（改錯本）的好處。有些不會做的題目或模棱兩可的都可以抄下來，以便以后碰到此類題目時可以隨手翻翻。還有一個問題，如果只是完成任務似地抄上去，也是沒有用的，只有你真正地了解，分析透徹之后，才能發揮它的作用……

日記二：

……有一道題目是這樣的，12÷（+++），當我看到12、2、3、4、6就想到它們的關系：12是2、3、4、6的倍數，它們是12的因數。簡便方法一般會用到乘法分配律，可是除法怎么辦呢？于是我就這樣改了：12×（2+3+4+6），之前省略了一步是12÷+ 12÷ + 12÷+ 12÷，除以這個數就是乘以這個數的倒數，于是12×2+12×3+12×4+12×6=12×（2+3+4+6），可是它是錯的，為什么呢？本來我很疑惑，但是我后來懂了，如果我們把小于1的數看作小的，大于1的看成大的，這樣12÷（+++），劃橫線的是小的+小的+小的+小的=大的，12除以大的=大的除以大的=小的嘍，那如果換成是12×（2+3+4+6），（大的+大的+大的+大的）=更大的。大的乘更大的=很大的。從這方面來說是錯的，還有，數學中根本不存在著什么除法分配律，要分配也要轉化成乘法分配律。

很高興學生能憑借數學學習經驗，通過推理、比較等思維活動，用自己最原始、最樸素的語言，反向詮釋除法分配律的錯誤。兩則學生日記很好地反映出他們的意識在進步，思考力在增強。

當然，在知錯糾錯的過程中，有個別學生也出現了一些問題，由于主觀意識上的不明確，學生把知錯糾錯的任務當成了負擔。自己想不出，求教同學，同學給他講了解題思路，他不管懂不懂，只是像背語文課文那樣囫圇吞棗地記住了解題思路，然后到老師那里背一遍，對于這樣的同學，用心的教師從學生講話的神情中就可以發現端倪，可以在某些關鍵處向學生提一兩個問題，要求學生解釋錯的原因。

參考文獻

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