透過表面 把握本質

課本例題和習題的權威性和示范性無疑是創新的源泉，也歷來受到中考命題專家的青睞，在它們身上做文章猶如舊枝發新芽，不僅起到鞏固基礎的作用，還能收到觸類旁通的效果，尤其對同學們的發散、轉化、探究、批判等思維的培養收效明顯.下面，我們就通過具體的題目來看.

例1 （2012浙江紹興）小明和同桌小聰在課后復習時，對課本“目標與評定”中的一道思考題進行了認真的探索.

思考題 如圖，一架2.5米長的梯子AB斜靠在豎直的墻AC上，這時B到墻C的距離為0.7米，如果梯子的頂端沿墻下滑0.4米，那么點B將向外移動多少米？

（1） 請你將小明對“思考題”的解答補充完整：

解：設點B將向外移動x米，即BB■=x，

則B■C=x+0.7，A■C=AC-AA■=■-0.4=2.

而A■B■=2.5，在Rt△A■B■C中，由B■C■+A■C■=A■B■■得方程 ，

解方程得x■= ，x■= ，

∴點B將向外移動 米.

（2） 解完“思考題”后，小聰提出了如下兩個問題：

問題一 在“思考題”中，將“下滑0.4米”改為“下滑0.9米”，那么該題的答案會是0.9米嗎？為什么？

問題二 在“思考題”中，梯子的頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離，有可能相等嗎？為什么？

請你解答小聰提出的這兩個問題.

課本原型 如圖，長5 m的梯子斜靠在墻上，梯子的底端與墻的距離是3 m.如果梯子底端向右滑動的距離與梯子頂端向下滑動的距離相等，求梯子滑動的距離.

對比聯系 中考題在“下滑的距離”與“向外移動的距離”建立一次對應關系，然后在問題一中建立第二次對應關系，而在問題二中解決了兩者在什么條件下能建立等量關系.課本原型與問題二是同一個問題.

問題解答 解：（1） （x+0.7）2+22=2.52，

x■=0.8，x■=-2.2（舍去），故填0.8.

（2） ① 不會是0.9米，

若AA■=BB■=0.9，則A■C=2.4-0.9=1.5，B■C=0.7+0.9=1.6，

1.52+1.62=4.81，2.52=6.25，

∵B■C2+A■C2≠A■B■2，

∴該題的答案不會是0.9米.

② 有可能.

設梯子頂端從A處下滑x米，點B向外也移動x米，

則有（x+0.7）2+（2.4-x）2=2.52，

解得：x=1.7或x=0（舍去）.

∴當梯子頂端從A處下滑1.7米時，點B向外也移動1.7米，即梯子頂端從A處沿墻AC下滑的距離與點B向外移動的距離有可能相等.

例2 （2012山東濟寧）一學校為了綠化校園環境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規定：如果購買樹苗不超過60棵，每棵售價120元；如果購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價就降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元.該校最終向園林公司支付樹苗款8800元，請問該校共購買了多少棵樹苗？

課本原型 某商場銷售一批襯衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.為了擴大銷售，增加盈利，商場決定采取適當的降價措施.經調查發現，在一定范圍內，襯衫的單價每降1元，商場平均每天可多售出2件.如果商場通過銷售這批襯衫每天要盈利1200元.襯衫的單價應降多少元？

對比聯系 不難看出，這兩個問題異曲同工，都是典型的一元二次方程應用題，觀察列方程的過程，等號左邊是一次項乘以一次多項式，構成二次多項式，右邊是常數，最后整理可得一元二次方程.

問題解答 解：因為60棵樹苗售價為120元×60=7200元<8800元，

所以該校購買樹苗超過60棵.設該校共購買了x棵樹苗，由題意得：

x[120-0.5（x-60）]=8800，

解得：x■=220，x■=80.

當x■=220時，120-0.5×（220-60）=40<100，

∴x■=220（不合題意，舍去）；

當x■=80時，120-0.5×（80-60）=110>100，

∴x=80.

答：該校共購買了80棵樹苗.

在本章研究的知識的基礎上，運用一些基本的數學變換就可以將我們熟悉的問題改頭換面，以全新的問題呈現在我們面前.同學們要透過表面，把握本質，找出其中蘊含的你熟悉的基本問題，再予以解決.