第一換元積分法的解題要領與技巧

摘 要：本文闡述了第一換元積分法（湊微分法）的原理、關鍵、常見的湊微分形式，并歸納了可運用湊微分法解答的四類題型及其解題技巧。

關鍵詞：第一換元積分法；湊微分

第一換元積分法（又稱湊微分法）是一種常重要的積分方法，它是積分基本公式在復合函數積分中的推廣，具有思維靈活、解題簡捷的特點。要熟練掌握這種積分方法并運用自如，除了必須熟記基本積分公式外，筆者認為以下幾點是重要的。

一、深刻理解湊微分法的原理、關鍵與思路

設 f（u）du=F（u）+C，且g（x）dx能化為f[?漬（x）]?漬'（x）dx，則g（x）dx變形f[?漬（x）]?漬'（x）dx湊微分變形f[?漬（x）]d[?漬（x）]換元fg（u）=F（u）+C回代F[?漬（x）]+C運算熟練后可以不寫出換元過程，由f[?漬（x）]d[?漬（x）]直接得出結果F[?漬（x）]+C.

這里有三點需要指出：

(1)由fg（u）=F（u）+C知湊微分法是積分公式在復合函數積分中的應用與推廣，這是湊微分的原理與實質。這里f（u）是屬于積分表中的被積函數類，即一般為u?琢、eu、au、lnu、sinu、cosu、tanu、secu、cscu、sec2u、csc2u、、等形式。

(2)由g（x）dx變形f[?漬（x）]?漬'（x）dx知g（x）可分解為兩個函數的積或商，特殊情況?漬'（x）可以等于常數?資。

以上兩點可用湊微分法解答的積分題g（x）dx的條件與特點。

(3)顧名思義，湊微分法的關鍵是湊微分。

二、熟悉常見的湊微分形式，掌握湊微分的基本要領

(1) f（ax+b）=f（ax+b）d（ax+b）

(2) f（axn+b）xn-1dx=f（axn+b）d（axn+b）

特別有：

f（）=-f（）d（）

f（）=2f（）d（）

……

以上各種湊微分形式可出現在積分公式表的任一公式中。湊微分法是靈活多變的，致使初學者感到困難。

三、歸納題型，掌握“湊”的技巧

要想湊微分法運用自如，必須做較多的習題，并善于總結，筆者認為主要有以下幾類題型：

1．屬于常見的湊微分形式的題型。

以下一道考研試題可見有一部分積分題是屬于常見的湊微分形式的：

(1996年)設xf（x）dx=arcsinx+C，求.

解：由已知得xf（x）=（arcsinx）=，

∴f（x）=

∴=xdx=-（1-x2）（1-x2）'dx=

-（1-x）d（1-x）=-（1-x）+C

2．被積函數g（x）可寫成f（x）?漬（x）或，f（x）較?漬（x）復雜，且f'（x）=?資?漬（x），即?漬（x）dx=df（x）.

例1：求dx

解：∵（1+sinxcosx）=cos2x-sin2x=cos2x

∴原式==ln（1+sinxcosx）+C

例2：求dx

解：∵(arctan)'=()'=-

∴dx=-arctand(arctan)=-(arctan)2+C

3．被積函數g（x）中，復合函數的內層函數的導數為g（x）中其余因式的整數倍。

例：求

解：∵（asinx+bcosx）'（a-b）sin2x

∴=（asinx+bcosx）d（asinx+bcosx）=?+C

4．被積函數g（x）變形后方為上述三種情形之一，下面仍以一道考研試題為例。

例1:（1993年）求dx

解：原式=dx=-（cosx）d（cosx）=+C

例2：（2000年）求

解：原式===arctane=（-）

對湊微分積分法，能掌握以上的要領與技巧，并多做習題，必能達到事半功倍的效果，變難為易，運用自如。

（作者單位：惠州市工業科技學校）

責任編輯 賴俊辰