二階雙共振離散邊值問題解的多重性

摘 要：本文利用非線性泛函分析中的變分方法，結合臨界點理論、Morse理論以及臨界群的計算研究了二階雙共振離散邊值問題(1.1)解的多重性。其中，，，是向前差分算子，在無窮遠點滿足雙共振條件。

（1.1）

關鍵詞：雙共振、變分方法、臨界點理論、Morse理論、臨界群

[中圖分類號]：O177.91 [文獻標識碼]：A

[文章編號]：1002-2139(2012)-03-0078-01

1、引言

本文在一定假設條件下證明了問題（1.1）至少存在三個非平凡解。與問題（1.1）對應的線性特征值問題的特征值，且。而對應的特征向量，其中。記，，，。記 。在Hilbert空間中，，范數。全文假設：

()對一致成立，并且存在，使得。

() 如果當時，，那么存在常數使得

，，。

() 如果當時，，那么存在常數，使得

，，。

在上定義泛函，

問題（1.1）的解等價于泛函J的臨界點。

引理1.1[1-2] 如果f滿足條件()—()，那么。

引理1.2[1-2] 假設函數。如果當時，，并且。那么泛函滿足P.S條件，其中

2、主要結果及證明

定理2.1.如果條件()—()成立，并且，那么問題（1.1）至少存在三個非平凡解，其中一個正解，一個負解。

證明：由于，，所以存在，當時，有。

而當時有，。 因此至少存在一個，使得，，所以是J的一個局部極小值點。于是。根據引理1.1有。如果僅有一個臨界點，則Morse型數，Betti數，則由及得到矛盾，所以至少還有一個臨界點，且。令

，，。則的臨界點是兩點邊值問題

（2.1）

的解，其中，并且。由引理1.2知滿足P.S條件。由知當時，。于是當時， 從而當時，。另一方面，由知存在，當時，，并且，再由的連續性知存在常數，使得對一切成立。從而存在常數，使得，。所以對于有，， 所以，。從而根據山路引理[3]，有一個臨界點。所以是問題（2.1）的解， 所以是的一個正解，所以也是的一個正解。于是。同理可得有一個非平凡臨界點，并且滿足條件。而，，所以，。因此至少有三個非平凡臨界點。

參考文獻：

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