數(shù)學(xué)建模思想的建立與應(yīng)用分析

數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)一樣，有著悠久的歷史。例如歐幾里德幾何、牛頓萬有引力定律、麥克斯偉方程組、門捷列夫周期表、孟德爾遺傳定律等都是數(shù)學(xué)建模的光輝典范。如何培養(yǎng)高中生的數(shù)學(xué)建模思想，是本文探討的主題。

一、選擇熟悉的具體問題，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模意識(shí)

運(yùn)用數(shù)學(xué)建模解決實(shí)際問題，必須先通過觀察分析提煉出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型，再把數(shù)學(xué)模型納入知識(shí)系統(tǒng)去處理，這不但要求學(xué)生要有一定的抽象能力，而且還要具備一定的觀察、分析、綜合、類比能力。要培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模思想，就要不斷引導(dǎo)他們用數(shù)學(xué)思維的觀點(diǎn)去觀察、分析和表示各種事物關(guān)系、空間關(guān)系和數(shù)學(xué)信息，從紛繁復(fù)雜的具體問題中抽象出我們熟悉的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而達(dá)到用數(shù)學(xué)模型來解決實(shí)際問題的目的，使數(shù)學(xué)建模意識(shí)成為學(xué)生思考問題的方法和習(xí)慣。教師要經(jīng)常在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)建模的意識(shí)，使學(xué)生可以從各類建模問題中逐漸領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)建模的廣泛應(yīng)用，從而激發(fā)學(xué)生研究數(shù)學(xué)建模的興趣，提高他們運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行建模的能力。

二、選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題，傳授學(xué)生數(shù)學(xué)建模的方法

教師可以從生活中的數(shù)學(xué)問題或社會(huì)熱點(diǎn)問題出發(fā)來介紹建模方法。如市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中涉及成本、利潤、儲(chǔ)蓄、保險(xiǎn)、投標(biāo)及股份制等知識(shí)，就是中學(xué)數(shù)學(xué)建模的好素材。把合適的素材融入教學(xué)活動(dòng)中，使學(xué)生掌握相關(guān)類型的建模方法，不僅可以使學(xué)生樹立正確的商品經(jīng)濟(jì)觀念，而且還為學(xué)生主動(dòng)以數(shù)學(xué)的意識(shí)、方法、手段處理問題打下了良好的基礎(chǔ)。

如某縣城新建一個(gè)服裝廠，從今年7月份開始投產(chǎn)，并且前4個(gè)月的產(chǎn)量分別為1萬件、1.2萬件、1.3萬件、1.37萬件。由于產(chǎn)品質(zhì)量好，服裝款式新穎，因此前幾個(gè)月的產(chǎn)品銷售情況良好。為了推銷員在推銷產(chǎn)品時(shí)，接受定單不至于過多或過少，這需要估測(cè)以后幾個(gè)月的產(chǎn)量。假如你是廠長，將會(huì)采用什么辦法？在這個(gè)實(shí)際問題中，沒有明顯的數(shù)學(xué)模型，因此需要假設(shè)數(shù)學(xué)模型。由“月份”和“產(chǎn)量”的“數(shù)對(duì)”，想到要建立直角坐標(biāo)系，描出各點(diǎn)位置，觀察連線接近的函數(shù)圖像。通過這個(gè)例子，使學(xué)生更清楚地了解到數(shù)學(xué)建模的過程和方法。

三、選擇基本的實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力

由于數(shù)學(xué)建模就是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)換成數(shù)學(xué)問題，因此我們?cè)跀?shù)學(xué)教學(xué)中，應(yīng)注重培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力。在教學(xué)中，教師要充分強(qiáng)調(diào)過程的重要性，培養(yǎng)學(xué)生從雜亂無章的現(xiàn)象中抽象出恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)問題的能力，即培養(yǎng)學(xué)生把客觀事物的原型與抽象的數(shù)學(xué)模型聯(lián)系起來的能力。

例如在學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的最值問題后，筆者通過下面的應(yīng)用題，讓學(xué)生懂得如何用數(shù)學(xué)建模的方法來解決實(shí)際問題。例如，某商人如果將進(jìn)貨單價(jià)為8元的商品按每件10元售出時(shí)，每天可銷售100件。現(xiàn)在他采用提高售出價(jià)，減少進(jìn)貨量的辦法來增加利潤，已知這種商品每件漲價(jià)1元，其銷售數(shù)量就減少10個(gè)，問他將售價(jià)定為多少時(shí)，方能獲取最大的利潤？并說明理由。

建模過程如下：

①將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型：設(shè)每件提價(jià)x元（x≥0），利潤為y元，則每天銷售額為（10+x）(100-10x)元，進(jìn)貨總價(jià)為8（100-10x），故0≤x≤10。

∵利潤＝銷售總價(jià)－進(jìn)貨總價(jià)

∴有y＝(2+x)(100-10x)(0≤x≤10)。

即原問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型——二次函數(shù)的最值問題；

②對(duì)數(shù)學(xué)模型求解：

y＝(2+x)(100-10x)＝-10(x-4)2+360(0≤x≤10)

當(dāng)x＝4時(shí)，Ymax＝360

③回歸實(shí)際問題：故當(dāng)售出價(jià)為每件14元時(shí)，每天獲取的最大利潤為360元。

因此，要搞好數(shù)學(xué)建模教學(xué)，還需要結(jié)合數(shù)學(xué)建模的過程，對(duì)能力培養(yǎng)進(jìn)行分解落實(shí)。在過程①中，要培養(yǎng)閱讀和語言轉(zhuǎn)化能力，這里包括由普通語言抽象為數(shù)學(xué)文字語言，再抽象為數(shù)學(xué)符號(hào)語言的能力；在過程②中，不僅需要基本的數(shù)學(xué)能力，而且需有綜合能力；在過程③中，要培養(yǎng)聯(lián)系實(shí)際，全面考慮問題的能力。教學(xué)中，只有對(duì)上述能力具體落實(shí)，數(shù)學(xué)建模教學(xué)才能取得較好的效果。

（作者單位：江西省豐城市拖船中學(xué)）