線性規劃搭臺,參數唱戲

一般地，求線性目標函數在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，統稱為線性規劃問題。從近幾年高考題型看，線性規劃問題在以能力立意的命題思想指導下，大膽深化、開放創新，從單一的、靜態的線性規劃發展為較全面的、動態的綜合題型，這主要歸功于參數的介入，使線性規劃問題越來越活，解決此類問題要善于抓住問題的實質，挖掘其中的幾何意義，利用數形結合進行觀察分析，必要時對參數進行分類討論。本文針對高考中出現的參數特征進行探討，供高考復習備考時參考。

一、目標函數中含有參數

這個參數往往與直線的斜率有關系，并且已知最優解，因此解題時可充分利用斜率的特征加以轉化。

1.目標函數中的系數為參數

例1、(2009年陜西理11)若x，y滿足約束條件x+y?叟1x-y?叟-12x-y?燮2，目標函數z=ax+2y僅在點（1，0）處取得最小值，則a的取值范圍是（ ）

A. (-1，2)B. (-4，2)C. (-4，0)D.(-2，4)

分析：明確a的幾何意義，與直線的斜率有關，根據圖形特征確定怎樣才能保證僅在點（1，0）處取得最小值。

解：作出約束條件所形成的區域圖形，目標函數化成y=-■x+■，則斜率k=-■，截距為■，要使截距最小，則-1

2.目標函數中的系數為參數

例2 (2006湖北理) 已知平面區域D由以A(1，3)，B(5，2)，C(3，1)為頂點的三角形內部和邊界組成，若在區域D上有無窮多個點(x，y)可使目標函數z=x+my取得最小值，則m=（ ）。

A.-2B.-1C.1D.4

分析：最優解有無窮多個，往往是指目標函數與其中一條直線重合，此外要注意到參數為或的系數上的不一致。

解：要使目標函數z=x+my的最優解有無窮多個，則直線z=x+my應與直線AC或AB，BC重合，但要使目標函數Z=X+my取得最小值，必須使得函數斜率為負值，且斜率的絕對值要大，從而只能與直線AC重合，則-■=kAC=-1，所以m=1，選C。

3.目標函數中x，y的系數均為參數

例3 (2009年山東理12) 設x，y滿足約束條件3x-y-6?燮0x-y+2?叟0x?叟0，y?叟0，若目標函數z=ax+by，(a>0，b>0)的值是最大值為12，則■+■的最小值為( )。

A.■B.■C.■D. 4

分析：本題綜合地考查了線性規劃問題和由基本不等式求函數的最值問題.要求能準確地畫出不等式表示的平面區域，并且能夠求得目標函數的最值，對于形如已知2a+3b=6，求■+■的最小值常用乘積進而用均值不等式解答。

解：不等式表示的平面區域如圖所示陰影部分，當直線z=ax+by(a>b，b>0)過直線x-y+2=0與直線3x-y-6=0的交點A(4，6)時，目標函數z=ax+by(a>0，b>0)取得最大12，4a+6b=12，即2a+3b=6，而■+■=(■+■)■=■+(■+■)?叟■+2=■，故選A。

二、約束條件中含有參數

約束條件中某一個約束條件含有參數，意味著約束條件是變動的，這種變動導致了目標函數最值的變動。

1.已知目標函數最值，求參數的值

例4 （2010年浙江理7）若實數，滿足不等式組x+3y-3?叟0，2x-y-3?燮0，x-my+1?叟0，且z=x+y的最大值為9，則實數m=（ ）。

A.-2B.-1

C.1 D.2

分析：已知目標函數的最值求參數的值，關鍵是找到最優解，代入到目標函數中，求出參數的值。

解：不等式組表示的平面區域如圖中陰影所示，把目標函數化為y=-x+z，則當直線y=-x+z過A點時z最大，由2x-y-3=0，x-my+1=0，得到A(■，■)，代入目標函數得■+■=9，所以m=1。

2.已知目標函數最值范圍，求參數的范圍

例5 (2011年高考湖南卷理科7)設m>1，在約束條件y?叟xy?燮mxx+y?燮1下，目標函數Z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為

。

分析：本題關鍵是理解參數的幾何意義是直線的斜率，找到關于m的一個不等式。

解：不等式組表示的平面區域如圖中陰影所示，把目標函數化為y=-■x+■，(m>1)，則-1<-■<0顯然只有當y=-■x+■在y軸上的截距最大時，z最大，根據圖形，目標函數在點A處取得最大值，由y=mxx+y=1，得到A(■，■)代入目標函數，即■+■<2，解得1

規律總結：線性規劃中參數的本質是對直線的斜率和截距產生變化，運用數形結合的思想，找準目標函數取得最值時的最優解。從“懂”到“會”到“悟”，體會鉆研的意識，品嘗成功的喜悅。

（作者單位：浙江象山西周中學）