高考概率中的“交匯”問題探究

概率是高中數(shù)學(xué)新增的教學(xué)內(nèi)容，是新課程高考的一大亮點(diǎn)和熱點(diǎn)，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)；近年來，與概率“交匯”的數(shù)學(xué)問題頻頻出現(xiàn)在高考試題中，這類試題題型靈活，綜合性強(qiáng)，充分考查了考生的數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)。下面作者結(jié)合近幾年的高考試題及有關(guān)省市的模擬試題，對(duì)此問題加以探討，旨在探索題型規(guī)律，揭示解題方法，以供同學(xué)們復(fù)習(xí)參考。

一、與數(shù)列“交匯”的概率問題

例1（11·江西八校聯(lián)考）將一個(gè)骰子連續(xù)拋擲三次，它落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列的概率為（ ）

A.■B.■C.■D.■

分析：本題考查了排列、組合、概率以及數(shù)列等知識(shí)的綜合運(yùn)用。解題時(shí)關(guān)鍵要從“落地時(shí)向上的點(diǎn)數(shù)依次成等差數(shù)列”這個(gè)條件出發(fā)，針對(duì)公差的不同取值情況進(jìn)行分類討論，分別求出不同公差情形下的基本事件數(shù)。

解：連續(xù)擲三次骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的方法總數(shù)為63種，其中公差為0的等差數(shù)列有6個(gè)；公差為1或-1的等差數(shù)列有2×4=8個(gè)；公差為2或－2的等差數(shù)列有2×2=4個(gè)；所以滿足題中條件的概率為:

■=■ ∴答案選B。

【評(píng)注】本題把概率與數(shù)列問題有機(jī)地“交匯”在一起，不僅有新意，而且能很好地考查考生的綜合能力；本題在解題時(shí)很容易漏解當(dāng)d=0、d=－1、d=－2時(shí)三種情況，從而出現(xiàn)失誤。

二、與解析幾何“交匯”的概率問題

例2 （11·東北三校聯(lián)考）直線x=m，y=x將圓面x2+y2≤4分成若干塊，現(xiàn)要用5種不同的顏色將這若干塊涂色，要求任意兩塊不同色，且共有120種不同的涂法，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。

分析：本題考查了排列組合、概率與解析幾何問題的相關(guān)知識(shí)，綜合性較強(qiáng)； 由于A45=A55=120，即直線x=m，y=x須將圓面分成4塊或者5塊；結(jié)合圖形，知兩直線的交點(diǎn)在圓x2+y2=4內(nèi)部時(shí)，即滿足要求。

解：依題意畫出圖形（如圖所示）；當(dāng)直線x=m，y=x將圓面分成4塊時(shí)，涂色方法總數(shù)為A55=120；此時(shí)兩直線x=m，y=x的交點(diǎn)應(yīng)在圓x2+y2=4的內(nèi)部；又兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(m，m)；∴m2+m2<4，得m2<2，即-■

【評(píng)注】與解析幾何“交匯”的概率問題一般要先畫出滿足條件的幾何圖形，充分利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解。

三、與方程、不等式、線性規(guī)劃“交匯”的概率問題

例3 （11·寧夏模擬）設(shè)有關(guān)于的一元二次方程x2+2ax+b2=0。

（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0，1，2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率。

（Ⅱ）若a是從區(qū)間[0，3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率。

分析：本題考查了方程、不等式、線性規(guī)劃、概率等相關(guān)知識(shí)，題型新穎獨(dú)特；由于一元二次方程有實(shí)根，由根的判別式可以找出a、b之間的關(guān)系。又（Ⅰ）中a、b為自然數(shù)，易知（Ⅰ）為等可能事件的概率問題，可利用公式p=■進(jìn)行計(jì)算；而（Ⅱ）中a、b分別取區(qū)間[0，3]和區(qū)間[0，2]之間的一切實(shí)數(shù)，因此（Ⅱ）則屬幾何概型問題，要利用數(shù)形結(jié)合，借助線性規(guī)劃知識(shí)進(jìn)行求解。

本題考查了方程、不等式、線性規(guī)劃、概率等相關(guān)知識(shí)，題型新穎獨(dú)特；由于一元二次方程有實(shí)根，由根的判別式可以找出a、b之間的關(guān)系。（Ⅰ）中a、b為自然數(shù)，易知（Ⅰ）為等可能事件的概率問題，可利用公式p=■進(jìn)行計(jì)算；而（Ⅱ）中a、b分別取區(qū)間[0，3]和區(qū)間[0，2]之間的一切實(shí)數(shù)，因此（Ⅱ）則屬幾何概型問題，要用到線性規(guī)劃知識(shí)，借助圖形面積進(jìn)行求解。

解：設(shè)事件M為“方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根”。

∵方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根；∴由根的判別式△≥0得a2≥b2；因此當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，知方程x2+2ax+b2=0有實(shí)根的充要條件為a≥b。

（Ⅰ）基本事件共有12個(gè)：

(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個(gè)數(shù)a表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值；由a≥b可得事件A包含9個(gè)基本事件；∴事件A發(fā)生的概率為P(M)=■=■。

（Ⅱ）試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)閧(a，b)/0≤a≤3，0≤b≤2}；構(gòu)成事件M的區(qū)域?yàn)閧(a，b) |0≤a≤3，0≤b≤2， a≥b}。

畫出平面區(qū)域（如圖陰影部分），可得又S矩形OABC=6；圖中陰影部分面積，S四邊形OABD=■×(1+3)×2=4，∴所求事件M的概率為P（M）=■=■。

【評(píng)注】本題巧妙地將概率、方程、不等式、線性規(guī)劃“交匯”在一起，綜合考查了概率的運(yùn)算，線性規(guī)劃知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合思想；第一小題為等可能事件的概率問題，正確列舉出符合條件的事件數(shù)是解題的關(guān)鍵；而第二小題則屬幾何概型問題，其概率即為兩圖形的面積之比。

通過對(duì)以上例題的分析可以看出，與概率交匯的綜合性試題是考查同學(xué)們數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的極好素材，同學(xué)們在平時(shí)的學(xué)習(xí)過程中應(yīng)引起足夠的重視。

（作者單位：江西省贛縣中學(xué)南校區(qū)）