高考概率中的“交匯”問題探究

概率是高中數學新增的教學內容，是新課程高考的一大亮點和熱點，是中學數學知識的一個重要交匯點；近年來，與概率“交匯”的數學問題頻頻出現在高考試題中，這類試題題型靈活，綜合性強，充分考查了考生的數學能力和數學素養。下面作者結合近幾年的高考試題及有關省市的模擬試題，對此問題加以探討，旨在探索題型規律，揭示解題方法，以供同學們復習參考。

一、與數列“交匯”的概率問題

例1（11·江西八校聯考）將一個骰子連續拋擲三次，它落地時向上的點數依次成等差數列的概率為（ ）

A.■B.■C.■D.■

分析：本題考查了排列、組合、概率以及數列等知識的綜合運用。解題時關鍵要從“落地時向上的點數依次成等差數列”這個條件出發，針對公差的不同取值情況進行分類討論，分別求出不同公差情形下的基本事件數。

解：連續擲三次骰子出現點數的方法總數為63種，其中公差為0的等差數列有6個；公差為1或-1的等差數列有2×4=8個；公差為2或－2的等差數列有2×2=4個；所以滿足題中條件的概率為:

■=■ ∴答案選B。

【評注】本題把概率與數列問題有機地“交匯”在一起，不僅有新意，而且能很好地考查考生的綜合能力；本題在解題時很容易漏解當d=0、d=－1、d=－2時三種情況，從而出現失誤。

二、與解析幾何“交匯”的概率問題

例2 （11·東北三校聯考）直線x=m，y=x將圓面x2+y2≤4分成若干塊，現要用5種不同的顏色將這若干塊涂色，要求任意兩塊不同色，且共有120種不同的涂法，求實數m的取值范圍。

分析：本題考查了排列組合、概率與解析幾何問題的相關知識，綜合性較強； 由于A45=A55=120，即直線x=m，y=x須將圓面分成4塊或者5塊；結合圖形，知兩直線的交點在圓x2+y2=4內部時，即滿足要求。

解：依題意畫出圖形（如圖所示）；當直線x=m，y=x將圓面分成4塊時，涂色方法總數為A55=120；此時兩直線x=m，y=x的交點應在圓x2+y2=4的內部；又兩直線的交點坐標為(m，m)；∴m2+m2<4，得m2<2，即-■

【評注】與解析幾何“交匯”的概率問題一般要先畫出滿足條件的幾何圖形，充分利用數形結合進行求解。

三、與方程、不等式、線性規劃“交匯”的概率問題

例3 （11·寧夏模擬）設有關于的一元二次方程x2+2ax+b2=0。

（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率。

（Ⅱ）若a是從區間[0，3]任取的一個數，b是從區間[0，2]任取的一個數，求上述方程有實根的概率。

分析：本題考查了方程、不等式、線性規劃、概率等相關知識，題型新穎獨特；由于一元二次方程有實根，由根的判別式可以找出a、b之間的關系。又（Ⅰ）中a、b為自然數，易知（Ⅰ）為等可能事件的概率問題，可利用公式p=■進行計算；而（Ⅱ）中a、b分別取區間[0，3]和區間[0，2]之間的一切實數，因此（Ⅱ）則屬幾何概型問題，要利用數形結合，借助線性規劃知識進行求解。

本題考查了方程、不等式、線性規劃、概率等相關知識，題型新穎獨特；由于一元二次方程有實根，由根的判別式可以找出a、b之間的關系。（Ⅰ）中a、b為自然數，易知（Ⅰ）為等可能事件的概率問題，可利用公式p=■進行計算；而（Ⅱ）中a、b分別取區間[0，3]和區間[0，2]之間的一切實數，因此（Ⅱ）則屬幾何概型問題，要用到線性規劃知識，借助圖形面積進行求解。

解：設事件M為“方程x2+2ax+b2=0有實根”。

∵方程x2+2ax+b2=0有實根；∴由根的判別式△≥0得a2≥b2；因此當a≥0，b≥0時，知方程x2+2ax+b2=0有實根的充要條件為a≥b。

（Ⅰ）基本事件共有12個：

(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個數a表示的取值，第二個數表示b的取值；由a≥b可得事件A包含9個基本事件；∴事件A發生的概率為P(M)=■=■。

（Ⅱ）試驗的全部結果所構成的區域為{(a，b)/0≤a≤3，0≤b≤2}；構成事件M的區域為{(a，b) |0≤a≤3，0≤b≤2， a≥b}。

畫出平面區域（如圖陰影部分），可得又S矩形OABC=6；圖中陰影部分面積，S四邊形OABD=■×(1+3)×2=4，∴所求事件M的概率為P（M）=■=■。

【評注】本題巧妙地將概率、方程、不等式、線性規劃“交匯”在一起，綜合考查了概率的運算，線性規劃知識以及數形結合思想；第一小題為等可能事件的概率問題，正確列舉出符合條件的事件數是解題的關鍵；而第二小題則屬幾何概型問題，其概率即為兩圖形的面積之比。

通過對以上例題的分析可以看出，與概率交匯的綜合性試題是考查同學們數學能力和數學素養的極好素材，同學們在平時的學習過程中應引起足夠的重視。

（作者單位：江西省贛縣中學南校區）