賞析數學的奇異美
2012-04-29 00:00:00陳玲玲
中學課程輔導·教師教育(上、下) 2012年6期
摘 要：數學中的奇異美，常常給人以“出人意料”和“令人震驚”的體驗。抓住奇異的現象，珍視奇妙的思維，關注奇特的結果，是數學研究中極具誘惑力的內容之一，是數學研究上取得突破性進展的重要途徑，是數學研究不盡源泉的一個動力。下面，筆者將從“數”與“形”、數學問題的解決、數學結論這三個方面來談談其中透露出的奇異美。
關鍵詞：數學；奇異美;賞析
中圖分類號：G427 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2012）06-077-1
抓住奇異的現象，珍視奇妙的思維，關注奇特的結果，是數學研究中極具誘惑力的內容之一，是數學研究上取得突破性進展的重要途徑，是數學研究不盡源泉的一個動力。從數學奇異美的瑰麗花朵中，我們分明可見數學家們的智慧，受到積極向上、為數學的創新與發展而奮斗不息的精神激勵。
一、“數”與“形”的奇異美
作為研究客觀世界“數”與“形”的科學，數學中處處滲透著“數”與“形”的奇，閃爍著“數”與“形”的異，使人賞心悅目。
1.在代數中我們有所謂的“非法約分”。全世界有很大影響的兩份雜志曾聯合邀請全世界的數學家們評選“近50年的最佳數學問題”，其中有一道相當簡單的問題：有哪些分數abbc，不合理地把b約去得到ac，結果卻是對的？經過一種簡單計算，可以找到四個分數：1664，2565，1995，4998。這個問題涉及到“運算謬誤，結果正確”的歪打正著，在給人驚喜之余，不也展現了一種奇異美嗎？
2.在平面幾何中，橢圓與正弦曲線會有什么聯系嗎？做一個實驗，把厚紙卷幾次，做成一個圓筒。斜割這一圓筒成兩部分。如果不拆開圓筒，那么截面將是橢圓，如果拆開圓筒，切口形成的即是正弦曲線。
圖一
將1～100的自然數依逆時針螺旋方向（自里向外）一一寫出，當把其中的質數全部圈出，這些質數全部分布在某些直線上（見圖一）。
這其中的玄妙是不是很奇異、很美。
二、數學問題解決中的奇異美
一個十分有趣的例子，蒲豐用投針求解圓周率π的近似解。1777年的一天，蒲豐突發奇想，把許多賓朋請到家中，做了一個讓人感到奇怪的試驗。他把事先畫好一條條具有等距離平行線的白紙鋪在桌子上，然后又拿出一大把質量均勻，長度都是平行線間距的一半的小針，請客人們把這些小針一根一根地隨便扔到紙上。而蒲豐則在一旁專注觀察并計數，共投2212 次，其中與任一平行線相交的有704次，蒲豐又做了簡單除法2212704=3.142，然后宣布：“這就是圓周率π的近似值。”在當時，計算圓周率π是十分曲折的，一般都是用計算圓內切或外切正多邊形的邊長去逼近，而它竟然和一個表面看來風馬牛不相及的投針試驗結合在一起，豈不令人驚奇。正如著名數學家徐利治所言：“奇異是一種美，奇異到極度更是一種美。”
問題是數學的心臟，是數學生命之所在。數學問題解決中所表現出的奇異的思維方式、獨特的解題方法，處處閃耀著智慧，使人贊嘆不己。例如：
例1 在等差數列{an}中，已知a6+a9+a12+a15=30，求S20。
探索思路：由求和公式想到，求S20需要先求出首項a1與公差d，已知式中的各項均可用a1與d表示出來，但這得到的是關于a1、d的一個二元一次方程，無法確定a1、d，這似乎“山窮水復疑無路”了。這時突然注意到已知式中的下標：在前20項中，a6與a15，a9與a12不正是與首末兩端等距離的兩項嗎？所以a6+a15=a9+a12=15，從而有S20＝15×10＝150，這又變成了“柳暗花明又一村”了，解這樣的題無疑是一種極大的精神享受。
三、數學結論中透出的奇異美
一張紙對折30遍會有多高？答案是比珠穆朗瑪峰還高。還有更驚奇的，這張紙對折50次，那么這張紙的高度是地球到月球距離的30倍！
將一塊13×13 m2的毛毯，按圖二那樣剪成四塊，再按圖三那樣拼成一塊21×8 m2的毯子，面積由原來的169變成了168，那1 m2哪兒去了？
圖二
圖三
“寓美于教”是數學教學更高層次的要求，是數學教學方法與教學藝術的高度結合。奇異的結果，很容易激發學生的學習熱情，會使人感到興奮，受到吸引，產生美感，精彩之處能使人心靈震撼、心蕩神馳。這些都是激發學生學習數學、研究數學的極好動力。奇異、新穎的外表，又常常蘊含著獨特而又有創新性的內容和思想，能給學習者以啟迪，幫助其增強求異、創新的能力。奇異美是數學美中最豐富、最精彩的片段，它能使學生感受到創造的喜悅和成功的樂趣，養成科學的態度和頑強的事業心。
但是對于數學，不能要求它能象音樂和美術那樣使人靈感煥發，一見鐘情，因為連最直觀的歐氏幾何對于一些人已經是一道不易跨越的高欄，而愈來愈加抽象的現代數學，無論用什么比喻，都不能把某些艱澀難懂的數學概念帶入一般人的經驗范圍。但是，隨著數學知識的豐富，數學素養的提高，生活經驗的積累，一定會有愈來愈多的人感受到數學美。
