成功數學解題 源自系統創造

數學是“思維的體操”，其中所蘊含的思想方法及思維方式確使人終身受益．有效的數學教學，“務必使學生理解該學科的基本結構”，即構成學科的基本概念、基本公式、基本法則等，以及它們間的相互聯系與規律性，亦即所謂數學系統或知識網絡．高效的數學學習，一定是學生再發現尤其是再創造以形成數學系統的過程．成功的數學解題，何尚不亦如此呢?若能對每道題所在系統都能通過創造建構而了然于胸，則解決相關問題自然會水到渠成，本文試將其過程加以說明，希以資借鑒．

一、熟記已創造的數學系統——胸中自有雄兵百萬

正如前文所述，日常的數學學習過程，須是一個數學系統的再創造過程．“紙上得來終覺淺，絕知此事要躬行”，只有通過主動創造去構建數學系統，才能使系統內知識網絡融會貫通、渾然一體，這樣才能為成功解題打下堅實基礎．比如中學重要知識系統之一的函數，要熟記它的定義如何，它的常用性質如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、最值性等如何獲得，用文字、數學符號語言、圖像如何反映，其中一些典型的具體函數如三角函數、指數函數等對應性質又如何，等等．這些平常主動創造的知識系統組成與結構必須了然于胸，如此方能如“胸中藏有雄兵百萬”，并能在解題時信手拈來，妙用無窮．

二、主動創造實際系統——從頭收拾舊山河

解題時上文所述已創造知識系統必須與題目中已知條件有機結合并通過主動創造來構建實際系統——“從頭收拾舊山河”，把每道題都作為一個實際數學系統來看待，思考該系統具有哪些性質、相互間有何聯系．若能對該系統有清晰明了的認識，則顯然為解題打下堅實基礎．

例1 設f（x）=x3+ax2+bx+1的導數f ′（x）滿足f ′（1）=2a，f ′（2）=-b，其中a，b∈R．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點（1，f ′（1））處的切線方程；（Ⅱ）設g（x）=f ′（x）e-x，求函數g（x）的極值．

剖析：本題是導數知識的一個簡單運用．若平時的學習中已創建了關于導數的知識系統，如導數的意義、性質、計算公式等，只需結合本題具體函數來創建一實際系統，則以下思路順理成章：在實際系統中有f ′（x）=3x2+2ax+b.再由f ′（1）=2a，f ′（2）=-b則可求出a、b之值，從而知道f（x）的表達式，故（I）中過點（1，f（1））及斜率為f ′（1）（根據系統中導數意義）的直線方程可輕易求得；（II）中求g（x）極值，據系統知識可知為求當g′（x）=0時對應的g（x）之值（當然須分清最大與最小值）．

∴max{a，b，c}=a

點評：本題新系統的建立，使原本紛繁復雜的過程變成一個“順藤摸瓜”的簡單過程，如此事半功倍效果的取得正是因為新系統的創造．

學生只要貫徹以上三原則：熟記已創造知識系統，創造實際知識系統，必要時創造新系統，則不僅能成功解題，更重要的是從此必能洞悉數學真諦，用歷經數千年積蘊的數學思維來武裝頭腦．

責任編輯 羅 峰