成功數(shù)學(xué)解題 源自系統(tǒng)創(chuàng)造

數(shù)學(xué)是“思維的體操”，其中所蘊(yùn)含的思想方法及思維方式確使人終身受益．有效的數(shù)學(xué)教學(xué)，“務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”，即構(gòu)成學(xué)科的基本概念、基本公式、基本法則等，以及它們間的相互聯(lián)系與規(guī)律性，亦即所謂數(shù)學(xué)系統(tǒng)或知識(shí)網(wǎng)絡(luò)．高效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，一定是學(xué)生再發(fā)現(xiàn)尤其是再創(chuàng)造以形成數(shù)學(xué)系統(tǒng)的過(guò)程．成功的數(shù)學(xué)解題，何尚不亦如此呢?若能對(duì)每道題所在系統(tǒng)都能通過(guò)創(chuàng)造建構(gòu)而了然于胸，則解決相關(guān)問(wèn)題自然會(huì)水到渠成，本文試將其過(guò)程加以說(shuō)明，希以資借鑒．

一、熟記已創(chuàng)造的數(shù)學(xué)系統(tǒng)——胸中自有雄兵百萬(wàn)

正如前文所述，日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程，須是一個(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)的再創(chuàng)造過(guò)程．“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”，只有通過(guò)主動(dòng)創(chuàng)造去構(gòu)建數(shù)學(xué)系統(tǒng)，才能使系統(tǒng)內(nèi)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)融會(huì)貫通、渾然一體，這樣才能為成功解題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．比如中學(xué)重要知識(shí)系統(tǒng)之一的函數(shù)，要熟記它的定義如何，它的常用性質(zhì)如定義域、值域、奇偶性、單調(diào)性、周期性、最值性等如何獲得，用文字、數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言、圖像如何反映，其中一些典型的具體函數(shù)如三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等對(duì)應(yīng)性質(zhì)又如何，等等．這些平常主動(dòng)創(chuàng)造的知識(shí)系統(tǒng)組成與結(jié)構(gòu)必須了然于胸，如此方能如“胸中藏有雄兵百萬(wàn)”，并能在解題時(shí)信手拈來(lái)，妙用無(wú)窮．

二、主動(dòng)創(chuàng)造實(shí)際系統(tǒng)——從頭收拾舊山河

解題時(shí)上文所述已創(chuàng)造知識(shí)系統(tǒng)必須與題目中已知條件有機(jī)結(jié)合并通過(guò)主動(dòng)創(chuàng)造來(lái)構(gòu)建實(shí)際系統(tǒng)——“從頭收拾舊山河”，把每道題都作為一個(gè)實(shí)際數(shù)學(xué)系統(tǒng)來(lái)看待，思考該系統(tǒng)具有哪些性質(zhì)、相互間有何聯(lián)系．若能對(duì)該系統(tǒng)有清晰明了的認(rèn)識(shí)，則顯然為解題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)．

例1 設(shè)f（x）=x3+ax2+bx+1的導(dǎo)數(shù)f ′（x）滿足f ′（1）=2a，f ′（2）=-b，其中a，b∈R．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f ′（1））處的切線方程；（Ⅱ）設(shè)g（x）=f ′（x）e-x，求函數(shù)g（x）的極值．

剖析：本題是導(dǎo)數(shù)知識(shí)的一個(gè)簡(jiǎn)單運(yùn)用．若平時(shí)的學(xué)習(xí)中已創(chuàng)建了關(guān)于導(dǎo)數(shù)的知識(shí)系統(tǒng)，如導(dǎo)數(shù)的意義、性質(zhì)、計(jì)算公式等，只需結(jié)合本題具體函數(shù)來(lái)創(chuàng)建一實(shí)際系統(tǒng)，則以下思路順理成章：在實(shí)際系統(tǒng)中有f ′（x）=3x2+2ax+b.再由f ′（1）=2a，f ′（2）=-b則可求出a、b之值，從而知道f（x）的表達(dá)式，故（I）中過(guò)點(diǎn)（1，f（1））及斜率為f ′（1）（根據(jù)系統(tǒng)中導(dǎo)數(shù)意義）的直線方程可輕易求得；（II）中求g（x）極值，據(jù)系統(tǒng)知識(shí)可知為求當(dāng)g′（x）=0時(shí)對(duì)應(yīng)的g（x）之值（當(dāng)然須分清最大與最小值）．

∴max{a，b，c}=a

點(diǎn)評(píng)：本題新系統(tǒng)的建立，使原本紛繁復(fù)雜的過(guò)程變成一個(gè)“順藤摸瓜”的簡(jiǎn)單過(guò)程，如此事半功倍效果的取得正是因?yàn)樾孪到y(tǒng)的創(chuàng)造．

學(xué)生只要貫徹以上三原則：熟記已創(chuàng)造知識(shí)系統(tǒng)，創(chuàng)造實(shí)際知識(shí)系統(tǒng)，必要時(shí)創(chuàng)造新系統(tǒng)，則不僅能成功解題，更重要的是從此必能洞悉數(shù)學(xué)真諦，用歷經(jīng)數(shù)千年積蘊(yùn)的數(shù)學(xué)思維來(lái)武裝頭腦．

責(zé)任編輯 羅 峰