在解決問題中建立并應用“模型思想”

一、在抽象概括中建立數(shù)學模型

用數(shù)學符號來體現(xiàn)的數(shù)學語言是世界性語言，正如華羅庚所說的：“數(shù)學的特點是抽象，正因為如此，用符號表示就更具有廣泛的應用性與優(yōu)越性。”教學時，教師要注意設計一些利用符號分析的問題，鼓勵學生運用符號來表達數(shù)量關系和空間形式，讓學生看到用符號表示數(shù)學模型的價值所在。

例1：人教版四年級下冊第123頁的“圖文題”配有下面的文字：一張桌子坐6人，兩張桌子并起來坐10人，三張桌子并起來坐14人……照這樣，10張桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少張桌子才能坐下？

對于第一個問題，主要有以下幾種方法：方法一：第一張桌子與增加的桌子坐的人數(shù)之和：6＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＋4＝42（人）；方法二：如果第一張也坐4人，就有4×10＋2＝42（人）；方法三：第一張桌子坐6人與增加的9張桌子坐的人數(shù)之和：6＋4×9＝42（人）。

方法一雖然是運用表象和已有的學習經(jīng)驗，運用具體的數(shù)量關系直接求和，但卻為方法二、三的數(shù)學建模打下了感性認識的基礎；方法二、三是學生鑒于數(shù)據(jù)簡單，利用直覺思維快速求解，構建的數(shù)學模型雖不精確，但離精確的數(shù)學模型也只有一步之遙了。

方法四：用列表格的方法表述建模和解題過程。這是教師刻意引導學生用列表的方法表述建模和解題的過程。

方法四，學生在對1、2、3張桌子坐的人數(shù)仔細觀察的基礎上，經(jīng)過分析與綜合、比較與推理的思維活動，有根有據(jù)地構建了精確的用字母符號表示的數(shù)學模型：如果將數(shù)量關系式6＋4×（10－1）中的“10”（桌子數(shù)）用符號“x”表示，則成為代數(shù)式6＋4×（x－1），就是建立了一個解決這類問題的數(shù)學模型。有了這個模型，適用范圍更廣了，可以解決任意張數(shù)桌子可以坐多少人的問題。因此，幾種方法相比，方法一、二、三只解決了一個問題，而方法四由于建立了正確的數(shù)學模型就能解決一類問題了。同時為解決第二個問題奠定了基礎。

數(shù)學模型的主要表現(xiàn)形式是數(shù)學符號的表達式和圖表，因而它與符號化思想有著很多相通之處，同樣具有普遍的意義。

二、在解決問題中應用數(shù)學模型

數(shù)學模型思想和符號化思想都是經(jīng)過抽象后用符號和圖表表達數(shù)量關系和空間形式，這是它們的共同之處。但是符號化思想更注重數(shù)學抽象和符號表達，而數(shù)學模型思想更重視如何經(jīng)過分析抽象建立數(shù)學模型，更加重視數(shù)學模型的應用，即通過數(shù)學結構化解決問題，尤其是現(xiàn)實中的各種問題。

如在六年級教材中多次出現(xiàn)圓與正方形關系的內(nèi)容，學生就題論題，如果題目稍加變化就束手無策，如果嘗試用數(shù)學建模與模型應用，就能幫助學生打開思路。

例2：從一個面積是12平方厘米的正方形紙板上剪下一個最大的圓，求圓的面積。

思考：在正方形中剪一個最大的圓，這個圓的面積與正方形面積有什么關系？

設：正方形的邊長為2，正方形的面積是4，而圓的面積是1×1×3？郾14＝3？郾14，圓的面積是正方形面積的■。

在正方形中剪一個最大的圓的數(shù)學模型：圓的面積就是正方形面積的■。正方形的面積就是圓面積的■。

解：12×■＝9？郾42（平方厘米）。

上述例子由于建立了正確的模型就可以輕松解決問題，避免了用常態(tài)方法（已知半徑求面積）無法解決帶來的尷尬和無奈，但是這樣的模型除了解決該題外，還可以應用在哪些問題中呢？

變化1：如圖，等腰直角三角形的面積是10平方米，求空白半圓的面積。

（原圖）

思考：還能用例2的模型嗎？能！只要再補充一個與左圖完全相同的圖形，就得到一個正方形和它內(nèi)部的最大圓（右圖），因此，在左上圖中，空白半圓的面積仍占整個三角形面積的■。那么，空白半圓面積＝10×■＝7？郾85（平方米）。

變化2：圖中，正方形的面積是6平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

思考：能用以上的模型嗎？能！

解1：6×4＝24（平方厘米），24×■＝18？郾84（平方厘米）。（仿例1）

解2：6×■×4＝18？郾84（平方厘米）。（仿變化1）

解3：6×3？郾14＝18？郾84（平方厘米）。（正方形的邊長正好是圓的半徑，即6就是r的平方，巧妙）

變化3：（人教版六年級下冊第30頁第6題）一個正方體木料的棱長為4分米，把它加工成一個最大的圓柱體，圓柱體的體積是多少立方分米？

思考：由平面圖形到立體圖形，模型變了嗎？沒變！

解：4×4×4×■＝50？郾24（立方分米）。

例3：圖中，正方形的面積是10平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

思考：在圓中剪一個最大的正方形，這個正方形與圓的面積有什么關系？

（例3與例2的數(shù)學模型不同，因此需要重新建構）

設：圓的直徑為2，正方形的面積為2×1÷2×2＝2，圓的面積為1×1×π，則正方形面積 ∶ 圓的面積＝■。

解1：圓的面積是10÷■＝5×3？郾14＝15？郾7（平方分米）。（這種解法是利用新的數(shù)學模型來解決問題的）

解2：連接正方形的兩條對角線（畫輔助線），將正方形分成四個相等的等腰直角三角形，那么兩個等腰直角三角形可以拼成一個邊長為r的小正方形。小正方形的面積是大正方形面積的■，因此小正方形的面積是5平方厘米，圓的面積為5×3？郾14＝15？郾7（平方厘米）。（這種解法溝通了例1和例2兩種數(shù)學模型之間的聯(lián)系，變“圓中求方”為“方中求圓”。）

解3：5×■×4＝15？郾7（平方厘米）。

上述的過程，實際上就是一個抽象數(shù)學模型、用數(shù)學模型解決問題的過程。在例2、例3中讓學生找出圓面積與正方形面積的內(nèi)在聯(lián)系，即建立問題的數(shù)學模型。變式題，依然是根據(jù)已經(jīng)建立的數(shù)學模型來解決，使得數(shù)學模型得到及時的鞏固和應用，目的是學生在解決問題時能夠運用一定的數(shù)學思想來解題，從而提高學生解決問題的能力。

總之，幫助學生建立數(shù)學模型思想，首先教師要有濃厚的數(shù)學建模意識。在教學過程中，要讓學生把自己當作解決某個問題的探究者，讓學生看到自己運用數(shù)學建模方法的完整過程。通過教師經(jīng)常的示范去熏陶學生的數(shù)學建模意識。其次，在教師指導下，讓學生常常經(jīng)歷運用數(shù)學建模方法解決問題的過程。

（作者單位：福建省福州市鼓樓區(qū)教師進修學校 責任編輯：王彬）