求簡單遞推數列的通項公式的有效方法
2012-04-29 00:00:00馬恩榮
中學教學參考·理科版 2012年3期
簡單遞推數列的通項公式的求解是近幾年的高考數學熱點問題， 解答這類問題的方法很多，最基本的策略是通過對該數列的遞推公式的變形，構造一個能求其通項公式的新數列. 本文旨在向讀者介紹求解幾種簡單遞推數列通項公式的有效方法.
類型一、“逐差”型:an+1=an+f(n)
【例1】 在數列{an}中，已知a1=2，an=an-1+(12)n-1(n≥2) 求an.
分析：注意到數列{an-an-1}是等比數列，所以用“逐差疊加”法可求an.
解：由an=an-1+(12)n-1，得an-an-1=(12)n-1.
當n≥2時，
an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)
＝2+12+(12)2+(12)3+…+(12)n-1
=3-(12)n-1.
∵a1=2滿足上式，∴an=3-(12)n-1.
小結: 對于遞推關系為an+1-an=f(n)的數列，如果數列{f(n)}的前n項和可求，則用“逐差疊加”法求an，此法源自課本中求等差數列的通項公式的方法.
類型二、“逐比”型:an+1=f(n)an
【例2】 在數列{an}中，已知a1=1，an+1=n+1n an(n∈N*)， 求an.
分析：注意到遞推公式可變形為an+1an=n+1n，而數列{n+1n}的前n項的積通過“逐商疊乘”求得，所以用“逐商疊乘”法可求an.
解：由an+1=n+1nan(n∈N
*)，可得an+1an=n+1n.
當n≥2時，
an=a1#8226;a2a1#8226;a3a2…anan-1=1×21×32×…×nn-1=n
.
∵a1=1滿足上式，∴a=n.
小結: 對于遞推關系為an+1an=f(n)的數列，如果數列{f(n)}的前n項積可求，則用“逐商疊乘”法求an，此法源自課本中求等比數列的通項公式的方法.
類型三、“差比”型:an+1=qan+f(n)(q≠0)
（Ⅰ）若f(n)＝d（其中d為常數），則an+1=qan+d(q≠0).
①當q=1時，an+1-an=d，{an}為等差數列；
②當d=0時，an+1=qan，{an}為等比數列；
③當q≠0，1，d≠0，且a1+dq-1≠0時，an+1+dq-1=q(an+dq-1)，轉化為求等比數列{an+dq-1}的通項即可.
【例3】 已知數列{an}滿足a1=1，且關于x的方程an+1x2-(2an+1+an+2)x+2an+4=0有兩個相等的實數根，求an.
分析：由題設知Δ=(2an+1+an+2)2-8an+1(an+2)=0，
整理得an+1=12an+1 ，且a1=1.問題轉化為類型三（Ⅰ）第③種情形.
解：由題設知Δ=(2an+1+an+2)2-8an+1(an+2)=0，整理得an+1=12an+1.
將上式變形，得an+1-2=12an+1-2=12(an-2)，
于是數列{an-2}是首項a1-2=-1，公比為12的等比數列.
∴an-2=(-1)(12)n-1=-12n-1，即an=2-12n-1.
小結：an+1=qan+d(q≠0)型遞推數列是最常見的一種，它的求法也有很多種，“構造法”（或待定系數法）是最自然、最簡單的一種方法.
（Ⅱ）若f(n)≠常數，通常用“構造法”求an.
【例4】 在數列{an}中，已知a1=1，an+1=2an+2n+1，求an.
分析：注意到數列{2n+1}是等差數列，所以可以用待定系數法求an.
解： 設an+1+A(n+1)+B=2(an+An+B)，整理得an+1=2an+An-A+B，
由于an+1=2an+2n+1，所以令A=2，-A+B=1，
解得A=2，B=3.
∴an+1=2an+2n+1an+1+2(n+1)+3=2(an+2n+3).
故數列{an+2n+3}為等比數列，且首項為a1+2+3=6，公比q=2，∴an+2n+3=6×2n-1.
即an=6×2n-1-2n-3(n∈N*).
小結：當{f（n）}為等差數列時，用待定系數法構造一個新的等比數列，求出an是較為有效的方法.
【例5】 在數列{an}中，已知a1=1，an+1=-2an+3n，求an.
分析：希望通過變形，構造一個可以求出其通項的新數列.
解法1：在遞推公式兩邊同除以(-2)n+1，得an+1(-2)n+1=an(-2)n+13(-32)n+1
，
令bn=an(-2)n，則上式可化為bn+1=b+13(-32)n+1，且b1=-12，數列{bn}即為“逐差”型，用“逐差累加”法可求得bn=-15-310(-32)n-1(n∈N*).
解法2：在遞推公式兩邊同除以3n，得an+13n=(-23)#8226;an3n-1+1，令b=an3n-1，則上式可化為bn+1=(-23)bn+1，且b1=1，數列{bn}即為“差比”型，以下解法與例3同.
小結：當{f(n)}為等比數列時，可以兩邊同除以qn+1，構造一新的等比數列求an，是解決此類問題的較為有效的方法.
類型四、“線性”型:an+1=pan+qan-1(pq≠0)，其中p、q均為常數
【例6】 在數列{an}中，已知a1=1，a2=7， an+1=2an+3an-1，求an.
分析：an+1=2an+3an-1an+1+an=3(an+an-1)an+1+an=(a2+a1)3n-1=8×3n-1
an+1=-an+8×3n-1.
根據例5的解法，可求得an=2×3n-1+(-1)n(n∈N*).
解這類問題的通法是“待定系數”法，其解答過程如下：
設an+1+xan=y(an+xan-1)，整理得an+1=(y-x)#8226;an+xyan-1，
由于an+1=2an+3an-1，令y-x=2，xy=3，
解得x=1，y=3是方程的一組解，
故an+1=2an+3an-1an+1+an=3(an+an-1).
令bn=an+an-1，則bn=3bn-1(n≥2)，且b1=8，所以數列{bn}為等比數列.
易得bn+1=8×3n-1，即an+1=-an+8×3n-1. 問題轉化為求“差比”型數列的通項公式，以下解法與例5 同.
小結：求此類型遞推數列的通項公式，往往是構造出一個新的等比數列{an+1+xan}，用“待定系數”法求出(x，y)的一組解（只要一組解即可），求出新數列的通項便得到an+1=qan+f(n)(q≠1)型，再用例5 的方法即可求出an.
求解簡單遞推數列的通項公式，抓住所給遞推關系的結構特征是關鍵，讀者只要領會了解答上述幾道例題的基本方法，完全可以掌握解答這類題的基本技能，做到輕松應答.
下面摘錄的是近幾年此類題型的高考試題（或試題的一部分），讀者不妨按上述解法一試，相信定有收獲.
1．（2006年全國卷I（理）22）設數列{an}的前n項的和Sn=43an-13×2n+1+23，n=1，2，3，…，求首項a1與通項an.
2.（2007年天津（文）21）在數列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1，n∈N*．證明數列{an-n}是等比數列.
3.（2007年天津（理）21）在數列{an}中，a1=2，an+1=λan+λn+1+(2-λ)2n(n∈N*），其中λ＞0．
求數列{an}的通項公式.
4.（2007年全國卷Ⅱ（理）21）設數列{an}的首項a1∈(0，1)，an=3-an-12，n=2，3，4，…．求{an}的通項公式.
5.（2007年全國卷I（理）22）已知數列{an}中a1=2，an+1=(2-1)(an+2)，n=1，2，3，…．
求{an}的通項公式．
6.（2009年全國卷I（理）20）在數列{an}中，a1=1，an+1=(1+1n)an+n+12n．求數列{an}的通項公式.
7. （2010年全國卷I（理）22）已知數列{an}中，a1=1，an+1=c-1an.設c=52，bn=1an-2，求數列{bn}的通項公式.
8. （2010年全國新課標（理）17）設數列{an}滿足a1=2，an+1-an=3×22n-1.求數列{an}的通項公式.
參考答案：
1.a1=2，an=4n-2n(n∈N*）； 2.略；
3.an=(n-1)λn+2n(n∈N*)；
4.an=1-(1-a1)(-12)n-1(n∈N*)；
5.an=2［(2-1)n+1］(n∈N*)；
6.an=2n-n2n-1 (n∈N*)；
7.bn=-4n-13-23(n∈N*)； 8.an=22n-1(n∈N*).
(責任編輯 金 鈴）
