數學教材的拓展與升華
2012-04-29 00:00:00王開軍
中學教學參考·理科版 2012年3期
在依托教材的基礎上，根據實際需要對教材進行適度的拓展和延伸，挖掘教材資源的深層價值，可最大限度地發揮教材的功能.
具體到一節課，可以從以下幾個方面入手研讀教材：理解教材整體結構及前后聯系，明確例題的地位和作用，弄清習題和例題的關系.
【案例1】 （人教版）橢圓及其標準方程，在給出了橢圓的定義后，要求根據橢圓的定義求出橢圓的標準方程.
盡管課本已歸納了求曲線方程的幾個步驟：
① 建立適當的坐標系，用有序實數對如(x，y)表示曲線上任意一點M的坐標；
② 根據題意，寫出適合條件P的點M的集合P﹛M|P（M）﹜；
③ 用坐標表示條件P（M），列出方程f(x，y)=0；
④ 化方程f(x，y)=0為最簡形式；
⑤ 證明以化簡后的方程的解為坐標的點都是曲線上的點.
但在此學生剛接受了橢圓的定義，求圓錐曲線的方程對學生來說是陌生的，有一定的難度.筆者認為在給出了橢圓的定義后可以安排下面這樣一個例題，一方面熟悉求曲線方程的知識，另一方面，可為求橢圓的一般方程做一個過渡.
【例1】 平面上兩個定點F1、F2的距離為10，動點M到兩個定點F1、F2距離之和為26.（1）判斷動點M的軌跡；（2）求動點M的軌跡方程.
解：（1）動點M到定點F1、F2的距離之和為常數26，故M點的軌跡為橢圓.
（2）求動點M的軌跡方程.
①以F1F2所在直線為x軸，以線段F1F2的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設M點的坐標為(x，y)；
②M點滿足的條件為|M F1|+|M F2|=26；
③用坐標表示M點滿足的條件即為
（x+5）2+y2+(x-5)2+y2=26;
④化簡上式變形為
(x+5)2+y2=26-(x-5)2+y2
，兩邊平方整理得
(x-5)2+y2=13-513x，兩邊再平方得
x2-10x+25+y2=132-10x+(513x)2，整理得x2132+y2122＝1，
即x2169+y2144=1.
⑤證明（略）.
在此，求曲線的方程、化簡曲線的方程對學生來說都是比較陌生，比較困難的，盡管在課本（人教版）P106安排了化簡含根式的方程的習題，在此筆者認為安排下面這樣一個例題是必要的.
下面再由具體到抽象，從特殊到一般，可以按照教材的安排求出橢圓的標準方程x2a2+y2b2=1(a＞b＞0).
為了進一步熟悉求曲線的方程，以下可安排學生自己練習，當橢圓的焦點坐標為F1（0，-c）， F2（0，c），橢圓上的點到兩焦點的距離為2a時，橢圓的標準方程為x2a2+y2b2=1(a＞b＞0).
【案例2】 在課本（人教版）的習題中，6，7兩題又在求橢圓的標準方程的基礎上加大了難度，增強了解決問題的技巧性.為了解決這些問題，培養學生的解題技能，對教材進行拓展和延伸是非常必要的，在此筆者對例2進行如下的拓展延伸.
【例2】 已知B、C是兩個定點，|BC|=6，△ABC的周長等于16，P1、P2為△ABC底邊的BC上的中線OA的兩個三等分點，求點P1的軌跡方程.
解：①以BC所在的直線為x軸，以線段BC的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系，設P1的坐標為(x′，y′).
②要求寫出P1的坐標(x′，y′)滿足的條件（難點），在此x′，y′兩個變量沒有直接的聯系，但我們看能不能把x′，y′與A點的坐標x，y聯系起來.P1為OA的一個三等分點，由圖可得，x′x=23，y′y=23，從而有x=32x′，y=32y′，A點的坐標x、y之間有對這兩個概念的理解，收到了較好的教學效果.充分尊重學生的主體地位，通過數學教學，在獲取數學知識的同時，讓學生主動學習自行獲取數學知識的方法，培養主動參與數學實踐的本領，進而獲得終身受用的數學能力、創造能力和社會活動能力.
二、激發學生思維促使學生全面發展
每個學生都渴望獲得成功，都想要證明自己的的價值.但又并非每一個人都能獲得成功，表現自己.如何才能使學生在學習數學活動的過程中獲得成功？這里就需要發揮教師的作用.教學實踐證明，精心創設各種教學情境，能夠激發學生的學習動機和好奇心，培養學生的求知欲望，調動學生學習的積極性和主動性，引導學生形成良好的意識傾向，促使學生主動地參與.增強學生的愉快情緒和探索興趣.運用設問、提問、實驗等方式，創設激發情感，創設一定的問題情境，來調動學生思維活動的積極性和主動性.教師要從學生的學習能力出發，從學生的知識水平出發，結合平常的教學活動的每一個細節因勢利導，設置多個臺價，分步到位，化難為易，為每個學生創造成功的機會.如我在講“眾數和中位數”時，首先是對學生的家長工作進行調查，對鞋店、成衣店的家庭學生提出問題：每天經營下班時你爸媽最關心店里的問題是什么？回答是多種多樣，五花八門的.接著我又問：如果你是鞋店的老板，要想獲得最好的效益，下次怎樣進貨？你最關心的問題是什么？這時激發和啟發學生活躍思維.對眾數和中位數概念的理解收到了良好的效果.我在講：線段AC和BC在一條直線上，E、F分別是AC、BC的中點，如果AC=5.6cm，BC=2.4cm，求EF的長時，將原來的一問改為兩問；（1）求EC、CF的長，這一問題比較簡單，只要根據中點定義，就可求出，把這一問題交給學習有一定困難的學生，使他們嘗到成功的喜悅，增強學習的積極性，同時也為下一問題目提供思考的“階梯”.（2）求EF的長，由于題中沒有畫圖，點B的位置不固定，先由學生分組討論得出，可能出現兩種情況：①點B線段AC上，這時EF=EC-FC，②點B在線段AC的延長線上，這時EF=EC+FC，這一問題情境的設計，有利于學生活躍思維，培養創新精神和創新能力，有利于學生真正成為學習主體，有利于個性品質的形成和發展.讓學生能夠按各自不同的目的、不同的選擇、不同的能力、不同的興趣選擇不同的教學并得到發展，能力較強者能夠積極參與數學活動，有進一步的發展機會；能力較低者也能參與數學活動，完成一些特殊的任務.這個過程也體現了教學目標的多元整合性.使學生可以全面發展.
三、重視培養發散性思維確保其參與教學活動的持續的熱情
發散思維即求異思維，是創造性思維中重要的組成部分，是對數學中的定理和命題進行不同角度、不同層
次、不同情形、不同背景的變式，以暴露問題的本質特征，揭示不同知識點間的內在聯系的一種教學設計方法.發散思維具有流暢性，變通性和獨特性等特點，即思考問題時注重多途徑，多方案，解決問題時注重舉一反三，觸類旁通.通過變式教學，使一題多用，多題重組，常給人以新鮮感，能喚起學生的好奇心和求知欲，因而能產生主動參與的動力，保持其參與教學過程的興趣和熱情.因此，正確培養和發展學生的發散思維，對造就創造型人才，至關重要.
如在有理數一章的教學中，比較 -67、-78、0.9的大小，我要求學生不僅會用絕對值大的負數反而小的方法比較幾個負數的大小，而且要求學生能利用被減數-減數>0，則被減數>減數，被減數-減數<0，則被減數<減數的方法來比較大小.為了培養學生的發散思維能力，在舉例和練習方面，盡可能選有多種解題方法的題型.我在和同學探究“已知等腰梯形的銳角等于60°，它的兩底分別為15cm和49cm，求它的腰長”一道題時，在巡回了解中發現部分同學滿足于用一種方法求解，此時我提出：各組交流，這道題有多少種解法，看誰找得最多，通過交流后，請各組代表講各組解題的思路和方法，有一種解法的，也有兩種解法的，還有三種解法的，等等.這時，一種解題方法的同學在掌握知識的情況方面接受了老師和同學們的評價，在學習上也有了自我調整.而后，我又將這道題改為作圖題：“求作一個等腰梯形，使它的銳角等于°，兩底分別為15cm，49cm.”這時，全班同學都能研究、交流：用從上底兩端點作下底的垂線的方法（見圖1），先作Rt△AEB，再作出等腰梯形ABCD；用平移一腰的方法（見圖2），先作等邊△DEC，再作等腰梯形ABCD；用延長兩腰的方法（見圖3），先作等邊△EBC，再作等邊△EAD，得等腰梯形ABCD；…….
通過一題多解的訓練，提高學生思維的流暢性.而且，在課外作業“作等腰梯形，使高為a，上底為b，下底為c”時，不少同學在作業本上用了多種方法來解，最多的用了四種解法.
(責任編輯 黃桂堅）
