數(shù)學(xué)教材的二次開發(fā)課例

筆者所在教研組申請了省級課題“數(shù)學(xué)教材的二次開發(fā)” ，課題研究過程中正好參加了市里的青年教師基本功大賽，在上課這一環(huán)節(jié)筆者與此課題有了一次親密接觸.以下為二元一次不等式組和簡單的線性規(guī)劃問題的第一節(jié)課——二元一次不等式表示的平面區(qū)域一課的課堂構(gòu)思.

一、合理改編問題情境——-讓問題成為學(xué)生參與熱情的催化劑

初拿到上課的課題，翻閱課本和教參后首先在引例的地方有了兩處疑惑：

疑惑一：一定需要耗時耗力的引例嗎？這節(jié)課的重點是用二元一次不等式表示平面區(qū)域；難點是二元一次不等式表示的平面區(qū)域的確定，即如何確定不等式Ax+By+C＞0(或＜0)表示Ax+By+C=0的哪一側(cè)區(qū)域.而引例以應(yīng)用題的形式呈現(xiàn)，需要對數(shù)據(jù)進(jìn)行表格化，再根據(jù)表格抽象出其中的不等量關(guān)系.整個過程耗時較長，且建立模型的過程并不能作為本節(jié)課的核心內(nèi)容.圍繞這個疑惑，筆者反復(fù)對引例的作用進(jìn)行了探討.發(fā)現(xiàn)引例與實際聯(lián)系，能很自然的引出問題.而問題是最好的催化劑，讓學(xué)生帶著問題走進(jìn)課堂，能最大程度激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情.如果刪去引例，直接進(jìn)入本節(jié)課的重點難點內(nèi)容，學(xué)生難免產(chǎn)生疑惑：為什么要研究二元一次不等式表示什么?頗有“被學(xué)習(xí)”本節(jié)內(nèi)容的味道.

疑惑二：這個引例能最大程度的激發(fā)學(xué)生的參與熱情嗎？本引例是一個生產(chǎn)問題，雖立足于現(xiàn)實生活，但畢竟不是學(xué)生的最近觸碰區(qū).而引例中的關(guān)系式4x+y＜10在后續(xù)的研究中需要把它變成y＜10-4x研究，且點的上下方位置也須通過簡單的運算才能判斷.是否可以把引例改編成學(xué)生實踐中的問題呢？是否可以把引例中的關(guān)系式設(shè)計的更簡單些呢？目標(biāo)明確后，筆者認(rèn)真回憶了最近學(xué)生的相關(guān)活動，突然想起恰逢青海玉樹震后學(xué)校組織了愛心義賣活動，學(xué)生均以滿腔熱情參與其中，何不以此為背景改編引例呢？

改編后的引例為：我校為“青海玉樹”舉行了愛心義賣活動，外聯(lián)部共有2000元資金，打算以10元/把的價格購進(jìn)一些折扇，以 8元/件的價格購進(jìn)一些T恤衫，要求T恤衫的數(shù)量至少是折扇數(shù)量的2倍，通過請校長、老師、同學(xué)繪畫或題字后分別以50元/把折扇和45元/件T恤衫的價格全部賣出，問折扇和T恤衫分別購進(jìn)多少時，才能使利潤最大？

分析：此問題中涉及到折扇的數(shù)量和T恤衫的數(shù)量，不妨設(shè)購進(jìn)折扇x把，T恤衫y件，由題意有以下的不等關(guān)系：

y＞2x10x+8y≤2000x，y∈N*

（1）

設(shè)利潤為z，則z=40x+37y，

問題即轉(zhuǎn)化為求滿足（1）的條件下z的最大值

評注：事實證明，引例的改編確實成效喜人，學(xué)生表示出極大的參與熱情，并且迅速建立起數(shù)學(xué)模型.比課本上的引例節(jié)省出大量的時間.使我們能在本節(jié)課的核心內(nèi)容上進(jìn)行更充分的活動，避免匆忙給出結(jié)論，然后悠然遨游題海的模式.

二、精心加密思維過程——讓主線成為學(xué)生思維方向的指明燈

引例之后，課本就進(jìn)入y＜10-4x幾何意義的研究，這里筆者作了一番思考，一是為什么要研究y＜10-4x的幾何意義，沒有任何鋪墊直接把學(xué)生往這條路上引的弊端顯而易見：一旦你不能給學(xué)生指明方向，學(xué)生立刻分不清東南西北，往往到處亂撞.二是課本對y＜10-4x幾何意義的研究，也是非常簡潔的.雖然學(xué)生由直覺能做出判斷，但容易讓學(xué)生誤認(rèn)為“＞”即對應(yīng)上方區(qū)域，反之則為下方區(qū)域.對后面Ax+By+C＞0的表示區(qū)域的判斷會形成誤導(dǎo).基于這兩點考慮，筆者對教材在此段內(nèi)容的處理上進(jìn)行了思維加密.

加密1，師：如何解決我們提出的這個最值問題呢？目前同學(xué)有哪些方法能解決最值問題？學(xué)生會想到函數(shù)，但此問題有兩個變元，而且沒有出現(xiàn)變元之間的制約關(guān)系，不能消去變元，從代數(shù)的角度同學(xué)感覺無路可走了，你還有其它的角度嗎？

評注：加密1雖然只是簡單的幾句話，卻把最值問題的一般思維方向呈現(xiàn)出來，非常自然的過渡到對不等式y(tǒng)＞2x的幾何意義的研究.

加密2，師：我們先回顧一下初中研究的x＞1的幾何意義是什么？

師：你能類比得到y(tǒng)＞2x的幾何意義嗎？

評注：由數(shù)軸到平面直角坐標(biāo)系，由一維到二維，可以通過類比把不等式y(tǒng)＞2x的幾何意義引出來，這樣既能培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識內(nèi)部的聯(lián)系，學(xué)會類比，大膽猜測.

加密3

學(xué)生操作1：畫出直線y=2x，在圖中標(biāo)出點A(1，2)，B(1，3)，C(2，4)，D(2，5)

師：從形上看，這些點與直線的位置關(guān)系如何？

生：A，C在直線上；B，D都在直線的上方區(qū)域

師：我們知道直線y=2x上所有點的坐標(biāo)都滿足y=2x，那么直線y=2x上方的這兩個點的坐標(biāo)呢？

生：它們的坐標(biāo)都滿足不等式y(tǒng)＞2x

師：直線y=2x上方的所有點的坐標(biāo)都滿足不等式y(tǒng)＞2x嗎？（引導(dǎo)學(xué)生以任意點的研究來代表所有點）

生：思考并進(jìn)行說理

生：直線y=2x上方的所有點的坐標(biāo)都滿足不等式y(tǒng)＞2x（幻燈片顯示結(jié)論）

學(xué)生操作2：請同學(xué)寫出一些坐標(biāo)滿足二元一次不等式y(tǒng)＞2x的點并在圖中標(biāo)出

師：這些點和直線y=2x的位置關(guān)系如何？

生：都在直線y=2x的上方

師：你能猜想什么結(jié)論呢？

生：坐標(biāo)滿足不等式y(tǒng)＞2x的點都在直線y=2x的上方.（幻燈片顯示結(jié)論）

師：到這兒，你能確定二元一次不等式y(tǒng)＞2x的幾何意義了嗎？

生：二元一次不等式y(tǒng)＞2x表示直線y=2x上方的平面區(qū)域.（幻燈片顯示結(jié)論）

評注：在直覺的基礎(chǔ)上讓學(xué)生能有更理性的思考，更嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f理，筆者設(shè)計了兩個學(xué)生操作.通過學(xué)生的兩項簡易操作讓學(xué)生親自體會了y＞2x的幾何意義，而不是直接給出結(jié)論.這個式子和書上的y＞10-4x相比，既讓學(xué)生在操作上更便捷，又同樣起到說明問題的作用.

加密4，師：不等式2x-y＞0表示什么？

評注：在概括出y＞kx+b的幾何意義的基礎(chǔ)上，學(xué)生最容易在后續(xù)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問題是只看符號進(jìn)行判斷，不管直線的具體形式，此處加密的三大功能一是提醒學(xué)生不能錯誤地認(rèn)為只要看符號就能進(jìn)行判斷，二是引出下面的Ax+By+C＞0表示的幾何意義的研究，三是揭示了后續(xù)問題的研究方法之一：化至斜截式.

三、深層挖掘例題作用——讓例題成為學(xué)生思維火花的碰撞石

在知識的應(yīng)用部分，筆者對書本的例習(xí)題也進(jìn)行了反復(fù)斟酌，既不能隨意舍去，失去例題的功能，更不能任意添加，使一節(jié)新授課變成習(xí)題課.例1的功能除了鞏固上述y＞kx+b（y＜kx+b）表示的平面區(qū)域的結(jié)論，更重要的是由此引出Ax+By+C＞0表示的幾何意義的研究方法二：代點法，此處筆者認(rèn)為有必要對代點法的本質(zhì)進(jìn)行深究，而非簡單的教給學(xué)生方法，然后學(xué)生大量模仿.如果只是教學(xué)生如何代點，學(xué)生在操作上當(dāng)然沒有任何問題.但違背了教學(xué)中知其然，知其所以然的基本原則.代點法是用直線一側(cè)的特殊點帶動了此側(cè)所有點的研究，這里必須理解特殊和一般的關(guān)系，因為在一般情況下，不能用特殊代替一般，此處為何可以呢？在上述y＞2x表示的幾何意義中，已經(jīng)理性說明了兩點：滿足此不等式的點都在直線的同側(cè)，反之在直線同側(cè)的點都滿足相同的不等式.用集合的觀點看，有一種對應(yīng)，所以才能用特殊的一個點去考察此點所在集合的所有點.此處的深挖注重方法內(nèi)在的數(shù)學(xué)本質(zhì)，

在完成例習(xí)題的基礎(chǔ)上，筆者根據(jù)學(xué)生的實際情況，因為上課班級學(xué)生的整體水平較高，所以設(shè)計了兩個變式訓(xùn)練，讓學(xué)生進(jìn)行自主練習(xí).

變式訓(xùn)練：

（1）若點（-2，t）在直線6x+5y=22的下方區(qū)域，則實數(shù)t的取值范圍為 . 

（2）原點和點在直線6c+5y=a的兩側(cè)，則實數(shù)a的取值范圍是 .

至此，應(yīng)該說一節(jié)課基本結(jié)束了，但作為教材的二次開發(fā)，過程中始終只是筆者的思考，是否完全符合學(xué)生的需求仍是值得思考的問題.為此，此次的課題研究又多了一個環(huán)節(jié)，學(xué)生對教材的二次開發(fā).

四、密切聯(lián)系學(xué)習(xí)主體——讓學(xué)生成為教材開發(fā)的參與者

學(xué)生不是被動接受知識的“容器”，他們原有的知識結(jié)構(gòu)和生活經(jīng)驗也使他們參與教材的“再開發(fā)”成為可能.教師要接納來自學(xué)生的不同見解，傾聽不同聲音，邀請他們一起參與.

課后，筆者設(shè)計了一份匿名調(diào)查問卷：

（1）哪些環(huán)節(jié)你的思維很活躍，很輕松

（2）哪些環(huán)節(jié)你的思維停滯，是老師拉著你往前走

（3）上完此課，除了會做題外，你學(xué)到了哪些

（4）如果你是老師，你會在哪些環(huán)節(jié)有不同的想法

（5）有興趣的同學(xué)模仿老師設(shè)計一份教案

雖然學(xué)生沒有理論的支撐，但他們是學(xué)習(xí)的主體，他們在學(xué)習(xí)的過程中會有很多我們教師想象不到的問題，學(xué)生的問題也是我們教師思考和制定教學(xué)策略的核心所在，或許學(xué)生的只言片語能促生我們教材二次開發(fā)的靈感.也能使我們的教學(xué)更具實踐性和有效性.

(責(zé)任編輯 黃桂堅）