讓角的范圍縮,縮,縮

在三角函數(shù)中，我們遇到用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系(sin2α+cos2α=1)解題時會出現(xiàn)增根，這時我們怎么舍去一增根應(yīng)取決于它的角的終邊落在第幾象限，要看角的終邊落在第幾象限關(guān)鍵看這個角的范圍.一般題目所給的角的范圍都很大，有時候我們需要把這個角的范圍根據(jù)已知條件把它進行縮小，當(dāng)然我們也可以用求不同的三角函數(shù)值或者可以根據(jù)題意舍去一個解，在這里我們就來看看如何縮小一個角的范圍.

【例】 （蘇教版必修4第一章1.2的思考運用的18題）

(1) 已知sinα+cosα=2，求sinαcosα及sin4α+cos4α的值.

解：（1）將sinα+cosα=2兩邊進行平方得到

(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=2，

得到sinαcosα=12.

sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α=1-2(sinαcosα)2=12.

【變式拓展】 已知sinα+cosα=32，求sinα-cosα的值.

分析：將sinα+cosα=32兩邊進行平方得到

(sinα+cosα)2=sin2α+cos2α+2sinαcosα=1+2sinαcosα=32，即

sinαcosα=14.

(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=12，

開平方得到：sinα-cosα=±22.

【問題】此時能否舍去一個根，還是兩個根都滿足題意呢？

任意角的三角函數(shù)都可以利用直角坐標(biāo)系的單位圓中的有向線段表示，我們注意到在x軸或y軸上的時候sinα+cosα=±1或sinα-cosα=±1，那只要判斷sinα+cosα或sinα-cosα的值是否為±1就能知道角α的終邊是否落在坐標(biāo)軸上，否則終邊就落在象限內(nèi)了.知道落在第幾象限內(nèi)就可以用以下的規(guī)律來解決.角的終邊在各個象限的正弦和余弦的有向線段都表示為：

sinα=MP，cosα=OM，

（Ⅰ）落在第一象限內(nèi)

分界的是角π4+2kπ，此時sinα+cosα=2，sinα-cosα=0，

在第一象限內(nèi)半徑和正弦線、余弦線構(gòu)成了一個直角三角形，

在三角形內(nèi)滿足兩邊之和大于第三邊，所以在第一象限內(nèi)都有

sinα+cosα＞1.



在角π4+2kπ的第一象限下方的區(qū)域內(nèi)，此時sinα＜cosα，

所以sinα-cosα＜0；

在角π4+2kπ的第一象限上方的區(qū)域內(nèi)，此時sinα＞cosα，

所以sinα-cosα＞0.

（Ⅱ）落在第二象限內(nèi)

分界的是角3π4+2kπ，此時sinα+cosα=0，sinα-cosα=2，

在第二象限內(nèi)半徑和正弦線、余弦線的絕對值構(gòu)成了一個直角三角形，

在三角形內(nèi)滿足兩邊之和大于第三邊，所以在第二象限內(nèi)都有sinα-cosα＞1.

在角3π4+2kπ的第二象限上方的區(qū)域內(nèi)，此時

sinα＞|cosα|，sinα＞0，cosα＜0，所以sinα+cosα＞0；

在角3π4+2kπ的第二象限下方的區(qū)域內(nèi)，此時

sinα＜|cosα|，sinα＞0，cosα＜0，所以sinα+cosα＜0.

（Ⅲ）落在第三象限內(nèi)

分界的是角5π4+2kπ，此時sinα-cosα=0，sinα+cosα=-2，

在第三象限內(nèi)半徑和正弦線的絕對值、余弦線的絕對值構(gòu)成了一個直角三角形，在三角形內(nèi)滿足兩邊之和大于第三邊，所以在第三象限內(nèi)都有

(-sinα)+(-cosα)＞1，即sinα+cosα＜-1.

在角5π4+2kπ的第三象限上方的區(qū)域內(nèi)，此時

|sinα|＜|cosα|，sinα＜0，cosα＜0，所以sinα-cosα＞0；

在角5π4+2kπ的第三象限下方的區(qū)域內(nèi)，此時|sinα|＞|cosα|，sinα＜0，cosα＜0，

所以sinα-cosα＜0.

(Ⅳ)落在第四象限內(nèi)

分界的是角7π4+2kπ，此時sinα+cosα=0，sinα-cosα=2，

在第四象限內(nèi)半徑和正弦線的絕對值、余弦線構(gòu)成了一個直角三角形，在三角形內(nèi)滿足兩邊之和大于第三

圖3

解析：由圓與正方形的對稱性可知，CD=2OD，設(shè)OD=x，則CD=2x，由圓的性質(zhì)可得OC=OF，從而列出方程x2+(2x)2=(x+4)2，求得x2=4，x2=-2（舍去）.

半徑OC=42+82=45.

四、面積法

這種方法比較隱蔽，學(xué)生一般不容易想到，其實直線與圓相切可得到兩條直線的垂直關(guān)系，從而隱含了三角形的高，所以可用面積法求解.

圖4

【例4】 如圖4，△ABC中， ∠ACB＝90°，AC=8cm，AB=10cm，D是AC的中點，⊙O的圓心O在BD上，且⊙O分別與AC、AB相切，求⊙O的半徑.

解析：設(shè)⊙O與AB、AC相切于點E、F，連接OE、OF、OA.設(shè)OE=xcm，易求BC=102-82，因為S△ABO+S△AOD=S△ABD，可得方程12×10#8226;x+12×4#8226;x=12×4×6

，求得x=127.

五、利用切線長定理

如果出現(xiàn)圓與直角三角形三邊相切時，用相似三角形或面積法也可求，但根據(jù)切線長定理構(gòu)造方程求半徑非常簡單.

圖5

【例5】 如圖5， 已知平面直角坐標(biāo)系中，A、B兩點的坐標(biāo)分別為A(0，3)、B(-4，0)，⊙E在第一象限，且與△AOB的三邊所在直線都相切，求⊙E的半徑.

解析：設(shè)⊙E與△AOB的三邊分別相切于C、D、F，連接DE、EF、CE，可得四邊形ODEF是正方形.由切線長定理可得OD=OF，AC=AF，BC=BD.設(shè)半徑為x，OD=OF=x，AC=AF=3-x，由BC=BD得方程4+x=5+3-x，求得x=2.

六、利用兩圓相切性質(zhì)

多圓相切時，利用“相切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑和”列方程組可求多圓半徑.

圖6

【例6】 如圖6，⊙A、⊙B、⊙C兩兩相切，AB=5，BC=7，AC=6，求⊙A、⊙B、⊙C的半徑.

解析：設(shè)⊙A、⊙B、⊙C的半徑分別為rA、rB、rC，利用“相切兩圓的圓心距等于兩圓的半徑和”可列方程組rA+rB=5，rB+rC=7，rA+rC=6，

從而求得rA=2，rB=3，rC=4.

七、三角函數(shù)轉(zhuǎn)化法

已知圓內(nèi)接三角形的一邊及一角時，可轉(zhuǎn)化成直角三角函數(shù)的問題來解決.

圖7

【例7】 如圖7，⊙O是△ABC的外接圓，AB=6， ∠ACB＝30°，求⊙O的半徑.

解析： 因為∠ACB＝30°是個特殊角，作過B點的直徑BD則可構(gòu)造特殊直角三角形.連接AD，則∠DAB＝90°，∠D＝∠C＝30°，由直角三角函數(shù)可得sin30°=ABBD=6BD=12， 解得BD=12，從而求得半徑為6.

八、利用函數(shù)式

如果圓上的點在某條直線或曲線上時，可設(shè)出點的坐標(biāo)，求出直線或曲線的函數(shù)式，將點的坐標(biāo)代入函數(shù)式可得方程求解.

圖8【例8】 如圖8，已知平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于A(-1，0)、B(3，0)兩點， 與y軸交于點C(0，-3)，M是拋物線上一動點，MN∥x軸與拋物線的另一交點為N點，當(dāng)以MN為直徑的圓與x軸相切時，求圓的半徑.

解析：由拋物線上的A(-1，0)、B(3，0)、 C(0，-3)三點可求出拋物線函數(shù)式y(tǒng)=x2-2x-3，對稱軸方程x=1，則可設(shè)圓心坐標(biāo)為（1，a），N點坐標(biāo)為（1+a，a），因為N點在拋物線上，則可得方程a=(a+1)2-2(a+1)-3，解得a=1±172，則半徑為r=17±12.

在求圓半徑的問題中，以上各種方法并不是相互獨立的，有時也需要綜合運用.學(xué)生需要在平時實踐中多思考、多感悟，才能根據(jù)各種不同的問題情境迅速確定最佳解題方案.

(責(zé)任編輯 金 鈴）